Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1752
2017-01-04 
Цилиндр и куб из одинакового материала, одинаковой высоты и массы стоят на горизонтальной плоскости. Какое нз этих двух тел труднее опрокинуть?
Решение:
Для того чтобы опрокинуть куб или цилиндр вокруг ребра, нужно повернуть их так, чтобы- их диагональные плоскости ABCD и KLMN (рис. а, 6) заняли вертикальное положение; при этом центр масс тела поднимается. Следовательно, необходимо совершить работу, которая будет тем больше, чем выше придется поднять центр масс (масса куба-равна массе цилиндра).
Если диагональная плоскость (куба или цилиндра) займет вертикальное положение, для чего придется повернуть диагональ AD вокруг ребра АВ на угол $\alpha$, а диагональ цилиндра МК иа угол $\beta$, то центр масс поднимается:
у куба на
$\Delta h_{1} = (h/2)(1/ \cos \alpha - 1)$,
у цилиндра на
$\Delta h_{2} = (h/2)(1/ \cos \beta - 1)$
(рис. в, г). Так как массы и высоты, а также и материалы куба и цилиндра одинаковы, то равны и площади их оснований, т. е. $h^{2} = \pi R^{2}$, где $R$ — радиус основания цилиндра. Для куба, очевидно, $\alpha = 45^{ \circ}$. Для цилиндра находим
$2R = h tg \beta$, или $4R^{2} = h^{2} tg^{2} \beta$.
Подставляя значение $h^{2}$, получим
$4R^{2} = \pi R^{2} tg^{2} \beta, tg^{2} \beta = 4 / \pi > 1$,
т. е. $\beta > 45^{ \circ}$. Следовательно, $\cos \beta < \cos \alpha$, а поэтому $\Delta h_{2} > \Delta h_{1}$, следовательно, цилиндр опрокинуть через ребро труднее, чем куб.
Если попытаться опрокинуть куб через вершину (а не через ребро), то пришлось бы повернуть его так, чтобы диагональ АС заняла вертикальное положение $AC^{ \prime}$ (рис. д). Для этого нужно куб повернуть на угол $\gamma$, образуемый диагональю куба с высотой. Тогда $tg^{2} \gamma = 2$. Так как $tg^{2} \beta = 4/ \pi < 2$, то $\gamma > \beta$. Следовательно, $\cos \beta > \cos \gamma$ и опрокинуть куб через вершину труднее, чем опрокинуть цилиндр.
Цилиндр и куб из одинакового материала, одинаковой высоты и массы стоят на горизонтальной плоскости. Какое нз этих двух тел труднее опрокинуть?
Решение:
Для того чтобы опрокинуть куб или цилиндр вокруг ребра, нужно повернуть их так, чтобы- их диагональные плоскости ABCD и KLMN (рис. а, 6) заняли вертикальное положение; при этом центр масс тела поднимается. Следовательно, необходимо совершить работу, которая будет тем больше, чем выше придется поднять центр масс (масса куба-равна массе цилиндра).
Если диагональная плоскость (куба или цилиндра) займет вертикальное положение, для чего придется повернуть диагональ AD вокруг ребра АВ на угол $\alpha$, а диагональ цилиндра МК иа угол $\beta$, то центр масс поднимается:
у куба на
$\Delta h_{1} = (h/2)(1/ \cos \alpha - 1)$,
у цилиндра на
$\Delta h_{2} = (h/2)(1/ \cos \beta - 1)$
(рис. в, г). Так как массы и высоты, а также и материалы куба и цилиндра одинаковы, то равны и площади их оснований, т. е. $h^{2} = \pi R^{2}$, где $R$ — радиус основания цилиндра. Для куба, очевидно, $\alpha = 45^{ \circ}$. Для цилиндра находим
$2R = h tg \beta$, или $4R^{2} = h^{2} tg^{2} \beta$.
Подставляя значение $h^{2}$, получим
$4R^{2} = \pi R^{2} tg^{2} \beta, tg^{2} \beta = 4 / \pi > 1$,
т. е. $\beta > 45^{ \circ}$. Следовательно, $\cos \beta < \cos \alpha$, а поэтому $\Delta h_{2} > \Delta h_{1}$, следовательно, цилиндр опрокинуть через ребро труднее, чем куб.
Если попытаться опрокинуть куб через вершину (а не через ребро), то пришлось бы повернуть его так, чтобы диагональ АС заняла вертикальное положение $AC^{ \prime}$ (рис. д). Для этого нужно куб повернуть на угол $\gamma$, образуемый диагональю куба с высотой. Тогда $tg^{2} \gamma = 2$. Так как $tg^{2} \beta = 4/ \pi < 2$, то $\gamma > \beta$. Следовательно, $\cos \beta > \cos \gamma$ и опрокинуть куб через вершину труднее, чем опрокинуть цилиндр.
