2017-01-01
Тонкий невесомый стержень проходит через центры трех шаров разных масс: $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$. Центры масс всех трех шаров отстоят от левого конца стержня на расстояния $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$ соответственно (рис.). На каком расстоянии $x_{0}$ от того же конца стержня находится центр масс системы всех трех шаров?
Решение:
Найдем сначала положение центра масс первых двух шаров. Очевидно, что эта точка делит расстояние $x_{2} — x_{1}$ на части, обратно пропорциональные массам $m_{1}$ и $m_{2}$. Обозначим ее расстояние от конца стержня через $x$ (рис.). Тогда будем иметь
$(x - x_{1})/ (x_{2} - x) = m_{2}/m_{1}$.
Отсюда получим
$x = (m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2})/(m_{1} + m_{2})$.
В этой точке действует сумма сил тяжести первых двух шаров, которую обозначим через $mg$. Тогда, применяя полученный нами результат к массам $m$ и $m_{3}$, находящимся от конца стержня на расстояниях $x$ и $x_{3}$, найдем, что центр масс системы всех трех шаров отстоит от конца стержня на расстояние
$x_{0} = (mx + m_{3}x_{3})/(m + m_{3})$;
подставляя в эту формулу значения $x$ и $m$, получим, что
$x_{0} = (m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + m_{3}x_{3})/(m_{1} + m_{2} + m_{3})$,
или, вообще, при любом числе $n$ шаров
$x_{0} = \sum_{i}^{n} m_{i}x_{i} / \sum_{i}^{n} m_{i}$.