2017-01-01
Однородная тонкая пластинка радиусом $R$ имеет форму круга, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающееся края пластинки (рис.). Масса сплошной пластинки равна $m$. Где находится центр масс круга с таким отверстием?
Решение:
Представим себе, что в пластинке сделано не одно, а два одинаковых отверстия, как показано на рис. Тогда центр масс пластинки будет лежать в центре круга О, масса ее будет равна $m/2$ (так как масса каждой из удаленных частей пластинки равна $m/4$). Заполним теперь левое отверстие. При этом прибавится масса, равная $m/4$, и сила тяжести, приложенная в центре заполненного отверстия, т. е. в точке $C_{2}$, лежащей на расстоянии $R/2$ от центра пластинки. Точка приложения (т. е. центр масс) равнодействующей сил тяжести заполненного левого круга и фигуры, заштрихованной на рис., лежит между точками $C_{2}$ и О. Пусть ее расстояние от точки О равно $x$. Тогда $(m/2) x = (m/4)(R/2 - x)$, откуда $x = R/6$.
Этот же результат можно получить иначе. Заполним отверстие кружком и приложим в его центре $C_{1}$ силу, направленную вертикально вверх и равную силе тяжести этого кружка $mg/4$. Тогда будем иметь две антипараллельные силы: силу тяжести всей пластинки $mg$, направленную вниз и приложенную в точке О, и силу тяжести $mg/4$, направленную вверх и приложенную в точке $C_{1}$. Точка приложения их равнодействующей, т. е. центр масс, находится на прямой $OC_{1}$ влево от О; пусть $x$ — расстояние центра масс от точки О. Тогда
$mx = (m/4) (x + R/2), x = R/6$.