Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 174
2014-05-31 
В теплоизолированном сосуде заключен одноатомный идеальный газ, характеризуемый параметрами $p_{0},v_{0}$ и $T_{0}$. Сверху сосуд закрыт тяжелым поршнем массой $M$. В некоторый момент поршень отпускают, и он начинает падать. Найдите значения $p_{1},V_{1}$ и $T_{1}$ в тот момент, когда ускорение поршня равно нулю. Площадь поршня равна $S$, давлением атмосферы можно пренебречь.
Решение:
Сначала рассмотрим силы, действующие на поршень в произвольный момент времени после того как поршень отпустили. Он опускается под действием силы тяжести $mg$, преодолевая силу давления газа, равную $pS$.
Второй закон Ньютона в этом случае имеет вид
$Mg – pS = Ma$.
Когда ускорение $a$ равно нулю, это уравнение переходит в $Mg = p_{1}S$, откуда находим
$p_{1} = Mg/S$. (1)
Для того чтобы найти объем $V_{1}$ и температуру $T_{1}$, учтем, что сжатие газа происходит без теплообмена с окружающей средой, т.е. $\Delta Q = 0$, и вся работа, которую совершает поршень над газом, идет на увеличение его внутренней энергии.
Работа, совершаемая поршнем над газом при изменении объема газа на малую величину $ \DeltaV$, равна
$\Delta A = - p \Delta V$. (2)|
Знак минус показывает, что положительная работа над газом приводит к уменьшению его объема.
Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа
$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. (3)
Приравнивая правые части равенств (2) и (3), получаем связь изменений объема газа и его температуры:
$p \Delta V = - \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. (4)
Используя уравнение состояния идеального газа
$pV = \nu RT$, (5)
находим для малых изменений объема, давления и температуры соотношение
$p \Delta V + V \Delta p = \nu R \Delta T$. (6)
Выражая $\Delta T$ из равенства (6) и подставляя полученное выражение в равенство (4), устанавливаем связь изменений давления и обьема:
$\frac{\Delta p}{\Delta V} = - \frac{5}{3} \frac{p}{V}$.
Это соотношение имеет место только при условии
$ pV^{\frac{5}{3}} = const$,
или с учетом (5),
$TV^{\frac{2}{3}}=const, Tp^{- \frac{2}{5}}=const $
Следовательно, зная $p_{0}, V_{0}$ и $T_{0}$, получаем величины $V$ и $T$ в зависимости от $p$:
$V = V_{0} (p/p_{0})^{- \frac{3}{5}}$, (7)
$T = T_{0} (p/p_{0})^{\frac{2}{5}}$. (8)
Подставляя в (7), (8) давление газа из формулы (1), находим исходные объем и температуру:
$V_{1} = V_{0} \left ( \frac{p_{0}S}{Mg} \right )^{\frac{3}{5}}, T_{1} = T_{0} \left ( \frac{Mg}{p_{0}S } \right )^{\frac{2}{5}}$.
Поршень в процессе движения приобретает некоторую скорость $v$, которую легко найти из закона сохранения энергии
$Mg \frac{V_{0}-V}{S} = \frac{3}{2} \frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}} (T- T_{0}) + \frac{Mv^{2}}{2}$. (9)
Здесь в левой части равенства стоит изменение потенциальной энергии поршня, первое слагаемое в правой части - изменение внутренней энергии газа, второе слагаемое - кинетическая энергия поршня (кинетической энергией газа пренебрегаем, cчитая что его масса много меньше массы поршня). Подставляя сюда вместо $V$ и $T$ найденные выше значения $V_{1}$ и $T_{1}$, получаем скорость поршня в момент прохождения им равновесного положения:
$v= \sqrt{2 \frac{gV_{0}}{S} \left [ 1- \left ( \frac{p_{0}S}{Mg} \right )^{\frac{3}{5}} \right ] + 3 \frac{p_{0}V_{0}}{M} \left [ 1- \left ( \frac{Mg}{p_{0}S} \right )^{\frac{2}{5}} \right ]}$.
Проходя по инерции положение равновесия, поршень продолжает движение до остановки, совершая работу и увеличивая внутреннюю энергию (и температуру). Поршень останавливается в тот момент, когда его скорость обращается в ноль и начинает движение в обратную сторону. Возникают колебания (не гармонические). Если в системе есть трение, эти колебания со временем затухают и вся кинетическая энергия поршня переходит во внутреннюю энергию газа. В конце концов поршень остановится. После остановки давление газа $p_{2}$ будет удовлетворять условию равновесия поршня (1): $p_{2} = Mg /S$. Температуру $T_{2}$ и объем газа $V_{2}$, после остановки можно найти, положив скорость поршня равной нулю в уравнении (9)
$Mg \frac{V_{0}-V_{2}}{S} = \frac{3}{2} \frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}} (T_{2}-T_{0})$, (10)
и учитывая начальные условия в уравнении состояния идеального газа
$\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}= \frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}$, (11)
Решая уравнении (10) и (11) относительно $V_{2}$ и $T_{2}$, находим объем и температуру газа после остановки поршня:
$V_{2} = V_{0} \left ( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \frac{p_{0}S}{Mg} \right ) , T_{2} = T_{0} \left ( 1 + \frac{2}{3} \frac{Mg}{p_{0}S} \right )$.
В теплоизолированном сосуде заключен одноатомный идеальный газ, характеризуемый параметрами $p_{0},v_{0}$ и $T_{0}$. Сверху сосуд закрыт тяжелым поршнем массой $M$. В некоторый момент поршень отпускают, и он начинает падать. Найдите значения $p_{1},V_{1}$ и $T_{1}$ в тот момент, когда ускорение поршня равно нулю. Площадь поршня равна $S$, давлением атмосферы можно пренебречь.
Решение:
Сначала рассмотрим силы, действующие на поршень в произвольный момент времени после того как поршень отпустили. Он опускается под действием силы тяжести $mg$, преодолевая силу давления газа, равную $pS$.
Второй закон Ньютона в этом случае имеет вид
$Mg – pS = Ma$.
Когда ускорение $a$ равно нулю, это уравнение переходит в $Mg = p_{1}S$, откуда находим
$p_{1} = Mg/S$. (1)
Для того чтобы найти объем $V_{1}$ и температуру $T_{1}$, учтем, что сжатие газа происходит без теплообмена с окружающей средой, т.е. $\Delta Q = 0$, и вся работа, которую совершает поршень над газом, идет на увеличение его внутренней энергии.
Работа, совершаемая поршнем над газом при изменении объема газа на малую величину $ \DeltaV$, равна
$\Delta A = - p \Delta V$. (2)|
Знак минус показывает, что положительная работа над газом приводит к уменьшению его объема.
Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа
$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. (3)
Приравнивая правые части равенств (2) и (3), получаем связь изменений объема газа и его температуры:
$p \Delta V = - \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. (4)
Используя уравнение состояния идеального газа
$pV = \nu RT$, (5)
находим для малых изменений объема, давления и температуры соотношение
$p \Delta V + V \Delta p = \nu R \Delta T$. (6)
Выражая $\Delta T$ из равенства (6) и подставляя полученное выражение в равенство (4), устанавливаем связь изменений давления и обьема:
$\frac{\Delta p}{\Delta V} = - \frac{5}{3} \frac{p}{V}$.
Это соотношение имеет место только при условии
$ pV^{\frac{5}{3}} = const$,
или с учетом (5),
$TV^{\frac{2}{3}}=const, Tp^{- \frac{2}{5}}=const $
Следовательно, зная $p_{0}, V_{0}$ и $T_{0}$, получаем величины $V$ и $T$ в зависимости от $p$:
$V = V_{0} (p/p_{0})^{- \frac{3}{5}}$, (7)
$T = T_{0} (p/p_{0})^{\frac{2}{5}}$. (8)
Подставляя в (7), (8) давление газа из формулы (1), находим исходные объем и температуру:
$V_{1} = V_{0} \left ( \frac{p_{0}S}{Mg} \right )^{\frac{3}{5}}, T_{1} = T_{0} \left ( \frac{Mg}{p_{0}S } \right )^{\frac{2}{5}}$.
Поршень в процессе движения приобретает некоторую скорость $v$, которую легко найти из закона сохранения энергии
$Mg \frac{V_{0}-V}{S} = \frac{3}{2} \frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}} (T- T_{0}) + \frac{Mv^{2}}{2}$. (9)
Здесь в левой части равенства стоит изменение потенциальной энергии поршня, первое слагаемое в правой части - изменение внутренней энергии газа, второе слагаемое - кинетическая энергия поршня (кинетической энергией газа пренебрегаем, cчитая что его масса много меньше массы поршня). Подставляя сюда вместо $V$ и $T$ найденные выше значения $V_{1}$ и $T_{1}$, получаем скорость поршня в момент прохождения им равновесного положения:
$v= \sqrt{2 \frac{gV_{0}}{S} \left [ 1- \left ( \frac{p_{0}S}{Mg} \right )^{\frac{3}{5}} \right ] + 3 \frac{p_{0}V_{0}}{M} \left [ 1- \left ( \frac{Mg}{p_{0}S} \right )^{\frac{2}{5}} \right ]}$.
Проходя по инерции положение равновесия, поршень продолжает движение до остановки, совершая работу и увеличивая внутреннюю энергию (и температуру). Поршень останавливается в тот момент, когда его скорость обращается в ноль и начинает движение в обратную сторону. Возникают колебания (не гармонические). Если в системе есть трение, эти колебания со временем затухают и вся кинетическая энергия поршня переходит во внутреннюю энергию газа. В конце концов поршень остановится. После остановки давление газа $p_{2}$ будет удовлетворять условию равновесия поршня (1): $p_{2} = Mg /S$. Температуру $T_{2}$ и объем газа $V_{2}$, после остановки можно найти, положив скорость поршня равной нулю в уравнении (9)
$Mg \frac{V_{0}-V_{2}}{S} = \frac{3}{2} \frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}} (T_{2}-T_{0})$, (10)
и учитывая начальные условия в уравнении состояния идеального газа
$\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}= \frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}$, (11)
Решая уравнении (10) и (11) относительно $V_{2}$ и $T_{2}$, находим объем и температуру газа после остановки поршня:
$V_{2} = V_{0} \left ( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \frac{p_{0}S}{Mg} \right ) , T_{2} = T_{0} \left ( 1 + \frac{2}{3} \frac{Mg}{p_{0}S} \right )$.
