2014-05-31
На тяжелой платформе, движущейся по прямолинейному горизонтальному участку железной дороги со скоростью $v$, устанавливают орудие. В тот момент, когда орудие поравняется с километровым столбом, из него должны выстрелить в направлении движения. Под каким углом к горизонту надо наклонить ствол орудия, чтобы расстояние между этим столбом и точкой падения снаряда были наибольшим? Считать, что скорость вылетающего снаряда относительно платформы не зависит от угла наклона ствола. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Пусть скорость снаряда относительно платформы равна $v_{0}$ и скорость платформы относительно земли равна $v$. В системе отсчета, связанной с землей, проекция скорости снаряди на горизонтальное направление в начальный момент есть
$v_{0x}=v_{0} \cos \alpha + v$,
а на вертикальное направление
$v_{0y}=v_{0} \sin \alpha$,
где $\alpha$ - угол наклона ствола орудия к горизонту.
Высота подъема снаряда
$h= v_{0y}t - \frac{gt^{2}}{2}$, (1)
а его удаление от места выстрела по горизонтали
$x=v_{0x}t$.(2)
Дальность полета в зависимости от угла $\alpha$ определяется из условия падения снаряда на землю в соответствующий момент времени:
$L(\alpha) = x$ при $h=0$.
Из этого условия и равенств (1) и (2) находим
$L(\alpha) =\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}=\frac{2v^{2}_{0}}{g}(1+ \cos \alpha) \sin \alpha = \frac{v^{2}_{0}}{g} \sin 2 \alpha + \frac{2v_{2}v}{g} \sin \alpha$.
Искомый угол $\alpha_{0}$ определяется максимальным значением выражения
$f(\alpha) = \frac{1}{2} v_{0} \sin 2 \alpha + v \sin \alpha$.
Для нахождения этого максимума приравняем нулю производную
$v_{0} \cos 2 \alpha_{0} + v \cos \alpha_{0} = 0$,
или, переписывая иначе,
$2v_{0} \cos^{2} \alpha_{0} + v \cos \alpha_{0} + v_{0} = 0$.
Решая это квадратное уравнение относительно $\cos \alpha_{0}$, получаем
$\cos \alpha_{0} = \frac{\sqrt{v^{2}+8v^{2}_{0}}}{4v_{0}}$
Легко показать, что правая часть этого равенства всегда меньше единицы, следовательно, при любых значениях скоростей максимальная дальность полета снаряда будет достигнута, если ствол орудия наклонить к горизонту под углом
$\alpha_{0} = arcos \frac{\sqrt{v^{2}+8v^{2}_{0}}}{4v_{0}}$