2016-12-31
На абсолютно гладком столе лежит цепочка массой $M$ и длиной $l$, свешивающаяся наполовину за край стола (рис. а). Как изменится время ее соскальзывания, если к концам цепочки прикрепить два одинаковых шарика массой $m$ (рис. б)?
Решение:
Внимание! Возможно решение задачи неверно ссылка на другой ход решения СсылкаМасса единицы длины цепочки равна $m_{0} = M/l$. Пусть в некоторый момент со стола свисает часть цепочки длиной $x$; по условию задачи в начальный момент времени $x = l/2$. Тогда сила, приводящая цепочку в движение, будет пропорциональна силе тяжести свисающей части, т. е. $m_{0}xg$. Ускорение цепочки будет равно $m_{0}xg/m$. В начальный момент, когда $m_{0}x = M/2$, ускорение равно $g/2$, а затем оно возрастает, так что цепочка будет двигаться ускоренно.
Если к концам цепочки прикрепить одинаковые массы $m$, то з момент, когда со стола свисает часть цепочки длины $x$, движущей силой будет сила $m_{0}xg + mg = (m_{0}x + m)g$, а ускорение цепочки в этот момент равно $(m_{0}x + m)g/(M + 2m)$. Для решения вопроса о том, в каком случае цепочка соскользнет быстрее, нужно выяснить, в каком случае ускорение нарастает быстрее; надо сравнить два ускорения:
$m_{0}xg/M$ и $(m_{0}x + m)g/(M + 2m)$.
Для этого приведем их к одному знаменателю и сравним числители. Числитель первой дроби равен $m_{0}xgM + 2m_{0}xgm$, числитель второй $m_{0}xgM + mgM$. Ясно, что эти числители равны между собой в начальный момент, когда $m_{0}x = M/2$. В последующие моменты ускорение в первом случае всегда больше, чем во втором.
Итак, цепочка соскользнет быстрее, когда шариков на ее концах не будет.
Этот же результат можно получить на основании закона сохранения энергии, учитывая, что в момент, когда конец цепочки соскальзывает со стола, ее центр масс находится на расстоянии $l/2$ ниже края стола. Тогда если $v_{1}$ — скорость в этот момент, то без шариков на концах
$Mgl/2 = Mv_{1}^{2}/2$, или $gl = v_{1}^{2}$,
а с шариками на концах
$(M + m)gl/2 = (M + 2m)v_{2}^{2}/2$,
или
$gl = (M + 2m)v_{2}^{2}/(M + m)$,
т. е. время соскальзывания цепочки должно быть меньше в том случае, когда шариков на ее концах нет.