Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1705
2016-12-31 
Тело массой $m$ начинает скользить без трения с верхнего конца наклонной грани клина, лежащего на горизонтальной плоскости, причем между клином и плоскостью трение также отсутствует. Масса клина $M$, угол наклонной грани клина с горизонтом $\alpha$. Найти силу давления тела на клин и клина на плоскость, а также ускорения клина и тела относительно плоскости.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на тело массой $m$ и клин массой $M$ (рис.). На тело действуют две силы— сила тяжести $mg$ и сила реакции клииа $N_{1}$. На клин действуют; сила тяжести $Mg$, сила давления тела $F$ и сила реакции плоскости $N_{2}$. Под действием горизонтальной составляющей силы давления тела клин движется влево относительно плоскости с некоторым горизонтальным ускорением $a_{1}$ определяемым уравнением
$Ma_{1} = F \sin \alpha$. (1)
В вертикальном направлении клин не имеет ускорения, поэтому
$Mg - N_{2} + F \cos \alpha = 0$. (2)
Обозначим составляющие ускорения тела ^относительно клина: горизонтальную через $a_{2}$ и вертикальную через $a_{3}$. Тогда составляющие ускорения тела относительно плоскости будут: горизонтальная $a_{2} - a_{1}$ и вертикальная $a_{3}$. Эти ускорена ^ч. ния определяются уравнениями
$m(a_{2} - a_{1}) = N_{1} \sin \alpha$, (3)
$ma_{3} = mg - N_{1} \cos \alpha$, (4)
причем, очевидно, $N_{1} = F$ и
$a_{3} = a_{2} tg \alpha$. (5)
Из уравнении (1) и (3) - (5) находим силу давления тела на клин:
$F = mMg \cos \alpha /(M + m \sin^{2} \alpha)$. (6)
Теперь из уравнения (2) можно найти силу давления клина на плоскость, равную по модулю силе реакции плоскости:
$N_{2} = Mg [1 + m \cos^{2} \alpha /(M + m \sin^{2} \alpha)]$.
Далее, из (1) и (6) находим ускорение клина относительно плоскости:
$a_{1} = (mg \cos \alpha \sin \alpha)/(M + m \sin^{2} \alpha)$. (7)
Из (3), (6) и (7) получаем горизонтальную составляющую ускорения тела относительно клина:
$a_{2} = (M + m) g \cos \alpha \sin \alpha/(M + m \sin^{2} \alpha)$, (8)
и горизонтальную составляющую ускорения тела относительно плоскости:
$a_{2} — a_{1} = Mg \cos \alpha \sin \alpha /(M + m \sin^{2} \alpha)$.
Из (8) и (5) находим вертикальную составляющую ускорения тела относительно плоскости:
$a_{3} = (M + m)g \sin^{2} \alpha /(M + m \sin^{2} \alpha)$.
Тело массой $m$ начинает скользить без трения с верхнего конца наклонной грани клина, лежащего на горизонтальной плоскости, причем между клином и плоскостью трение также отсутствует. Масса клина $M$, угол наклонной грани клина с горизонтом $\alpha$. Найти силу давления тела на клин и клина на плоскость, а также ускорения клина и тела относительно плоскости.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на тело массой $m$ и клин массой $M$ (рис.). На тело действуют две силы— сила тяжести $mg$ и сила реакции клииа $N_{1}$. На клин действуют; сила тяжести $Mg$, сила давления тела $F$ и сила реакции плоскости $N_{2}$. Под действием горизонтальной составляющей силы давления тела клин движется влево относительно плоскости с некоторым горизонтальным ускорением $a_{1}$ определяемым уравнением
$Ma_{1} = F \sin \alpha$. (1)
В вертикальном направлении клин не имеет ускорения, поэтому
$Mg - N_{2} + F \cos \alpha = 0$. (2)
Обозначим составляющие ускорения тела ^относительно клина: горизонтальную через $a_{2}$ и вертикальную через $a_{3}$. Тогда составляющие ускорения тела относительно плоскости будут: горизонтальная $a_{2} - a_{1}$ и вертикальная $a_{3}$. Эти ускорена ^ч. ния определяются уравнениями
$m(a_{2} - a_{1}) = N_{1} \sin \alpha$, (3)
$ma_{3} = mg - N_{1} \cos \alpha$, (4)
причем, очевидно, $N_{1} = F$ и
$a_{3} = a_{2} tg \alpha$. (5)
Из уравнении (1) и (3) - (5) находим силу давления тела на клин:
$F = mMg \cos \alpha /(M + m \sin^{2} \alpha)$. (6)
Теперь из уравнения (2) можно найти силу давления клина на плоскость, равную по модулю силе реакции плоскости:
$N_{2} = Mg [1 + m \cos^{2} \alpha /(M + m \sin^{2} \alpha)]$.
Далее, из (1) и (6) находим ускорение клина относительно плоскости:
$a_{1} = (mg \cos \alpha \sin \alpha)/(M + m \sin^{2} \alpha)$. (7)
Из (3), (6) и (7) получаем горизонтальную составляющую ускорения тела относительно клина:
$a_{2} = (M + m) g \cos \alpha \sin \alpha/(M + m \sin^{2} \alpha)$, (8)
и горизонтальную составляющую ускорения тела относительно плоскости:
$a_{2} — a_{1} = Mg \cos \alpha \sin \alpha /(M + m \sin^{2} \alpha)$.
Из (8) и (5) находим вертикальную составляющую ускорения тела относительно плоскости:
$a_{3} = (M + m)g \sin^{2} \alpha /(M + m \sin^{2} \alpha)$.
