Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1704
2016-12-31 
Трубка в форме ромба со стороной $a$ с закругленными углами расположена в вертикальной плоскости, как показано на рис.. Один раз шарик скатывается в трубке по сторонам АВ и ВС, а другой раз по сторонам AD и DC. В каком случае он скатится быстрее?
Решение:
Когда стороны АВ и DС ромба (рис.) почти горизонтальны, сразу ясно, что во втором случае (движение по сторонам AD и DС шарик скатится быстрее. Это видно из того, что по стороне DC шарик будет проходить с большой средней скоростью, которую он приобретет, двигаясь по стороне AD. В первом же случае сторону АВ шарик пройдет с очень малой средней скоростью (так как ускорение его мало).
Результат, полученный для этого частного случая, остается справедливым и в общем случае, в чем можно убедиться с помощью следующего расчета. Пусть стороны АВ и DC образуют с горизонталью угол $\alpha$, a стороны ВС и DA образуют с вертикалью угол $\beta$. Если шарик скатывается по сторонам АВ + ВС, то ои тратит на это время $t_{1} + t_{2}$, где $t_{1}$ и $t_{2}$ — время, которое он тратит на скатывание по АВ и ВС соответственно. Ускорение при движении по АВ равно $a sin \alpha$. Поэтому для вычисления времени $t_{1}$ имеем уравнение
$a = (g \sin \alpha)t_{1}^{2}/2$.
Ускорение при движении по ВС равно $g \cos \beta$, и это движение происходит с начальной скоростью $\sqrt{2 ag \sin \alpha}$, следовательно, мы можем определить $t_{2}$, решая уравнение
$a = \sqrt{2a (g \sin \alpha) t_{2}} + (g \cos \beta)t_{2}^{2}/2$.
Для второго случая, при скатывании шарика по сторонам AD + DC, будем иметь такие же выражения с той лишь разницей, что ускорения $g \sin \alpha$ и $g \cos \beta$ нужно поменять местами. Поэтому для первого Случая сумма двух времен равна
$ \sqrt{ \frac{2a}{g \sin \alpha}} + \frac{ - \sqrt{2ag \sin \alpha} + \sqrt{2ag \sin \alpha + 2ag \cos \beta}}{g \cos \beta}$,
а для второго случая та же сумма времен равна
$ \sqrt{ \frac{2a}{g \cos \beta}} + \frac{ - \sqrt{2ag \cos \beta} + \sqrt{2ag \cos \beta + 2ag \sin \alpha}}{g \sin \alpha}$.
Так как ясно, что $g \sin \alpha$ меньше, чем $g \cos \beta$, то в первом случае сумма времен больше, чем во втором.
Трубка в форме ромба со стороной $a$ с закругленными углами расположена в вертикальной плоскости, как показано на рис.. Один раз шарик скатывается в трубке по сторонам АВ и ВС, а другой раз по сторонам AD и DC. В каком случае он скатится быстрее?
Решение:
Когда стороны АВ и DС ромба (рис.) почти горизонтальны, сразу ясно, что во втором случае (движение по сторонам AD и DС шарик скатится быстрее. Это видно из того, что по стороне DC шарик будет проходить с большой средней скоростью, которую он приобретет, двигаясь по стороне AD. В первом же случае сторону АВ шарик пройдет с очень малой средней скоростью (так как ускорение его мало).
Результат, полученный для этого частного случая, остается справедливым и в общем случае, в чем можно убедиться с помощью следующего расчета. Пусть стороны АВ и DC образуют с горизонталью угол $\alpha$, a стороны ВС и DA образуют с вертикалью угол $\beta$. Если шарик скатывается по сторонам АВ + ВС, то ои тратит на это время $t_{1} + t_{2}$, где $t_{1}$ и $t_{2}$ — время, которое он тратит на скатывание по АВ и ВС соответственно. Ускорение при движении по АВ равно $a sin \alpha$. Поэтому для вычисления времени $t_{1}$ имеем уравнение
$a = (g \sin \alpha)t_{1}^{2}/2$.
Ускорение при движении по ВС равно $g \cos \beta$, и это движение происходит с начальной скоростью $\sqrt{2 ag \sin \alpha}$, следовательно, мы можем определить $t_{2}$, решая уравнение
$a = \sqrt{2a (g \sin \alpha) t_{2}} + (g \cos \beta)t_{2}^{2}/2$.
Для второго случая, при скатывании шарика по сторонам AD + DC, будем иметь такие же выражения с той лишь разницей, что ускорения $g \sin \alpha$ и $g \cos \beta$ нужно поменять местами. Поэтому для первого Случая сумма двух времен равна
$ \sqrt{ \frac{2a}{g \sin \alpha}} + \frac{ - \sqrt{2ag \sin \alpha} + \sqrt{2ag \sin \alpha + 2ag \cos \beta}}{g \cos \beta}$,
а для второго случая та же сумма времен равна
$ \sqrt{ \frac{2a}{g \cos \beta}} + \frac{ - \sqrt{2ag \cos \beta} + \sqrt{2ag \cos \beta + 2ag \sin \alpha}}{g \sin \alpha}$.
Так как ясно, что $g \sin \alpha$ меньше, чем $g \cos \beta$, то в первом случае сумма времен больше, чем во втором.
