Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1697
2016-12-27 
Два человека решили устроить дуэль на револьверах в необычных условиях: они стреляются, стоя на карусели радиусом $R$, вращающейся с угловой скоростью $\omega$. Первый дуэлянт стоит в центре О карусели, второй — на ее краю.
Как они должны прицеливаться, чтобы поразить один другого? Какой из дуэлянтов находится в более благоприятных условиях? Считать, что пуля первого дуэлянта вылетает из точки О со скоростью, равной $v_{1}$.
Решение:
Первый дуэлянт должен учитывать, что за время полета его пули второй дуэлянт переместится в другое положение. Время полета пули первого дуэлянта не зависит от вращения карусели: $t_{1} = R/v_{1}$. За Время $t_{1}$ карусель повернется и точка А переместится в В (рис. а), т.е. на расстояние, равное длине дуги АВ: $s = \omega Rt$, поэтому первому дуэлянту надо стрелять не по направлению ОA, а по направлению ОВ. Угол $\alpha$ находится из условия $\alpha = \omega Rt/ v_{1}t = \omega R /v_{1}$. Второй дуэлянт, стоящий на краю карусели, движется со скоростью $v_{2} = \omega R$, поэтому скорость его пули складывается из двух скоростей: $v_{1}$ и $v_{2}$. Чтобы попасть в центр карусели, он должен стрелять тоже не по направлению АО, а под некоторым углом $\beta$, который находится из условия $\sin \beta = \omega R/v_{1}$ (рис. б). Пока $v_{2} \ll v_{1}, \beta \approx \omega R/v_{1}$, т. е. оба дуэлянта должны прицеливаться одинаково, на один и тот же угол влево от противника (при указанном на рисунке направлении вращения карусели). Однако с увеличением $\omega R$ должен расти угол $\beta$ и результирующая скорость пули будет уменьшаться, а значит, будет уменьшаться и возможность поражения первого дуэлянта.
При $\omega R =v_{1} \sin \beta = 1$, т. е. второй дуэлянт должен был бы прицеливаться в направлении, противоположном направлению скорости его движения $v_{2}$. Но при этом результирующая скорость пули была бы равна нулю.
Время полета пули второго дуэлянта $t_{2}$ зависит от скорости вращения карусели:
$t_{2} = \frac{R}{v_{1} \cos \beta} = \frac{R}{v_{1}} \cdot \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \omega^{2}R^{2} /v_{1}^{2}}} = \frac{1}{ \sqrt{ v_{1}^{2}/R^{2} - \omega^{2}}}$.
При $\omega R = v_{1}$ получается, что время $t_{2} = \infty$, т. е. пуля дуэлянта, стоящего на краю карусели, «повисает» в воздухе в точке А, и он подъезжает под свою собственную пулю (в этом случае, как мы убедились выше, результирующая скорость пули равна нулю).
При $\omega R > v_{1}$ результирующая скорость вообще не может быть направлена в точку О, т. е. первый дуэлянт не может быть поражен пулями второго. Первый же может поразить второго, если он правильно выбрал угол $\alpha$.
Два человека решили устроить дуэль на револьверах в необычных условиях: они стреляются, стоя на карусели радиусом $R$, вращающейся с угловой скоростью $\omega$. Первый дуэлянт стоит в центре О карусели, второй — на ее краю.
Как они должны прицеливаться, чтобы поразить один другого? Какой из дуэлянтов находится в более благоприятных условиях? Считать, что пуля первого дуэлянта вылетает из точки О со скоростью, равной $v_{1}$.
Решение:
Первый дуэлянт должен учитывать, что за время полета его пули второй дуэлянт переместится в другое положение. Время полета пули первого дуэлянта не зависит от вращения карусели: $t_{1} = R/v_{1}$. За Время $t_{1}$ карусель повернется и точка А переместится в В (рис. а), т.е. на расстояние, равное длине дуги АВ: $s = \omega Rt$, поэтому первому дуэлянту надо стрелять не по направлению ОA, а по направлению ОВ. Угол $\alpha$ находится из условия $\alpha = \omega Rt/ v_{1}t = \omega R /v_{1}$. Второй дуэлянт, стоящий на краю карусели, движется со скоростью $v_{2} = \omega R$, поэтому скорость его пули складывается из двух скоростей: $v_{1}$ и $v_{2}$. Чтобы попасть в центр карусели, он должен стрелять тоже не по направлению АО, а под некоторым углом $\beta$, который находится из условия $\sin \beta = \omega R/v_{1}$ (рис. б). Пока $v_{2} \ll v_{1}, \beta \approx \omega R/v_{1}$, т. е. оба дуэлянта должны прицеливаться одинаково, на один и тот же угол влево от противника (при указанном на рисунке направлении вращения карусели). Однако с увеличением $\omega R$ должен расти угол $\beta$ и результирующая скорость пули будет уменьшаться, а значит, будет уменьшаться и возможность поражения первого дуэлянта.
При $\omega R =v_{1} \sin \beta = 1$, т. е. второй дуэлянт должен был бы прицеливаться в направлении, противоположном направлению скорости его движения $v_{2}$. Но при этом результирующая скорость пули была бы равна нулю.
Время полета пули второго дуэлянта $t_{2}$ зависит от скорости вращения карусели:
$t_{2} = \frac{R}{v_{1} \cos \beta} = \frac{R}{v_{1}} \cdot \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \omega^{2}R^{2} /v_{1}^{2}}} = \frac{1}{ \sqrt{ v_{1}^{2}/R^{2} - \omega^{2}}}$.
При $\omega R = v_{1}$ получается, что время $t_{2} = \infty$, т. е. пуля дуэлянта, стоящего на краю карусели, «повисает» в воздухе в точке А, и он подъезжает под свою собственную пулю (в этом случае, как мы убедились выше, результирующая скорость пули равна нулю).
При $\omega R > v_{1}$ результирующая скорость вообще не может быть направлена в точку О, т. е. первый дуэлянт не может быть поражен пулями второго. Первый же может поразить второго, если он правильно выбрал угол $\alpha$.
