Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 169
2014-05-31 
С какой наименьшей скоростью надо бросить мяч, чтобы он перелетел через стену высотой $h$, которая находится на расстоянии $l$ от места броска?
Решение:
Мяч, брошеный под углом $\alpha$ к горизонту, будет двигаться по траектории, описываемой уравнением
$y(x)=x tg \: \alpha - \frac{gx^{2}}{2v^{2}_{0} \cos^{2} \alpha}$, (1)
где у - высота над точкой броска; х - расстояние от точки броска по горизонтали; $v_{0}$ - начальная скорость. Условие перелета через стену:
$y(x) \geq h$ при $x=l$. (2)
Очевидно, что при фиксированном значении угла $\alpha$ минимальная скорость соответствует знаку равенства в условии (2). Переписывая уравение (1) с учетом условия (2), получаем соотношение
$h= l tg \: \alpha - \frac{gl^{2}}{2v^{2}_{0} \cos^{2} \alpha}$, (3)
Решая (3) как квадратное уравнение относительно $v_{0}$, определяем наименьшее значение $v_{0}$ при заданном значении $\alpha$. Однако выбрать минимальное значение $v_{0}$ из совокупности решений при различных значениях угла $\alpha$ - не очень простая математическая задача. Посмотрим на уравнение (3) иначе. Зафиксируем значение $v_{0}$ и будем искать значения угла $\alpha$, удовлетворяющие условию (3). С учетом тригонометрического тождества $1/ \cos^{2} \alpha = 1 + tg^{2} \: \alpha$ перепишем уравнение (3) в виде квадратного уравнения относительно $tg \: \alpha$
$\frac{gl^{2}}{2v^{2}_{0}} tg^{2}\: \alpha – l tg \: \alpha +h + \frac{gl^{2}}{2v^{2}_{0}}=0$. (4)
Это уравнение, как любое квадратное уравнение, имеет два, одно или ни одного решения в зависимости от значения дискриминанта. Отрицательный дискриминант соответствует случаю, когда нет решений т. е. мяч не перелетит через стену ни при каком $\alpha$ - скорость недостаточна. Положительный дискриминант - два решения $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, мяч перелетит через стену при $\alpha_{1} < \alpha < \alpha_{2}$ (скорость достаточно велика). Наименьшему значению скорости соответствует обращение дискриминанта в ноль - единственное значение угла $\alpha$. Вычисляем дискриминант и приравнивая его нулю, получаем условие
$\frac{2g}{v^{2}_{0}} \left ( h +\frac{gl^{2}}{2v^{2}_{0}} \right )-1=0$,
или
$v^{4}_{0}-2ghv^{2}_{0}-g^{2}l^{2}=0$.
Решая это уравнение относительно $v^{2}_{0}$, получаем
$v^{2}_{0} = g (h \pm \sqrt{l^{2}+h^{2}})$.
Из двух решений выбираем положительное (знак плюс перед корнем) и получаем окончательный ответ: наименьшая скорость, при которой мяч перелетит через стену, равна
$v_{0} = \sqrt{g (h+ \sqrt{h^{2}+l^{2}})}$
С какой наименьшей скоростью надо бросить мяч, чтобы он перелетел через стену высотой $h$, которая находится на расстоянии $l$ от места броска?
Решение:
Мяч, брошеный под углом $\alpha$ к горизонту, будет двигаться по траектории, описываемой уравнением
$y(x)=x tg \: \alpha - \frac{gx^{2}}{2v^{2}_{0} \cos^{2} \alpha}$, (1)
где у - высота над точкой броска; х - расстояние от точки броска по горизонтали; $v_{0}$ - начальная скорость. Условие перелета через стену:
$y(x) \geq h$ при $x=l$. (2)
Очевидно, что при фиксированном значении угла $\alpha$ минимальная скорость соответствует знаку равенства в условии (2). Переписывая уравение (1) с учетом условия (2), получаем соотношение
$h= l tg \: \alpha - \frac{gl^{2}}{2v^{2}_{0} \cos^{2} \alpha}$, (3)
Решая (3) как квадратное уравнение относительно $v_{0}$, определяем наименьшее значение $v_{0}$ при заданном значении $\alpha$. Однако выбрать минимальное значение $v_{0}$ из совокупности решений при различных значениях угла $\alpha$ - не очень простая математическая задача. Посмотрим на уравнение (3) иначе. Зафиксируем значение $v_{0}$ и будем искать значения угла $\alpha$, удовлетворяющие условию (3). С учетом тригонометрического тождества $1/ \cos^{2} \alpha = 1 + tg^{2} \: \alpha$ перепишем уравнение (3) в виде квадратного уравнения относительно $tg \: \alpha$
$\frac{gl^{2}}{2v^{2}_{0}} tg^{2}\: \alpha – l tg \: \alpha +h + \frac{gl^{2}}{2v^{2}_{0}}=0$. (4)
Это уравнение, как любое квадратное уравнение, имеет два, одно или ни одного решения в зависимости от значения дискриминанта. Отрицательный дискриминант соответствует случаю, когда нет решений т. е. мяч не перелетит через стену ни при каком $\alpha$ - скорость недостаточна. Положительный дискриминант - два решения $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, мяч перелетит через стену при $\alpha_{1} < \alpha < \alpha_{2}$ (скорость достаточно велика). Наименьшему значению скорости соответствует обращение дискриминанта в ноль - единственное значение угла $\alpha$. Вычисляем дискриминант и приравнивая его нулю, получаем условие
$\frac{2g}{v^{2}_{0}} \left ( h +\frac{gl^{2}}{2v^{2}_{0}} \right )-1=0$,
или
$v^{4}_{0}-2ghv^{2}_{0}-g^{2}l^{2}=0$.
Решая это уравнение относительно $v^{2}_{0}$, получаем
$v^{2}_{0} = g (h \pm \sqrt{l^{2}+h^{2}})$.
Из двух решений выбираем положительное (знак плюс перед корнем) и получаем окончательный ответ: наименьшая скорость, при которой мяч перелетит через стену, равна
$v_{0} = \sqrt{g (h+ \sqrt{h^{2}+l^{2}})}$
