Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16754
2025-04-15 
Однородный тонкий брусок массой $m$ лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по перпендикуляру к нему, его можно сдвинуть с места, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен $\mu$? (рис.).
Решение:
Прежде всего надо найти точку бруска, которая будет неподвижной. Обозначим расстояние от края бруска до этой точки через $x$ (рис. 229). При вращении бруска на него действует тормозящий момент сил трения, равный
$M_{тр} = M_{1} + M_{2}$,
где $M_{1}$ и $M_{2}$ - моменты сил трения, действующие соответственно на левую и правую части бруска.
Момент $M_{1}$ равен произведению силы трения, действующей на левую часть бруска, на среднее расстояние от края бруска до т. О:
$M_{1} = F_{тр_{1}} \cdot \overline{l_{1}} = \mu g \tau x \cdot \overline{l_{1}}$,
$\overline{l_{1}} = \frac{x}{2}$,
$\tau$ - линейная плотность бруска, $\tau = \frac{m}{l}$. Таким образом,
$M_{1} = \mu g \tau \cdot \frac{x^{2}}{2}$.
Аналогично,
$M_{2} = F_{тр_{2}} \cdot \overline{l_{2}} = \mu g \tau (l-x) \cdot \overline{l_{2}}$,
$\overline{l_{2}} = \frac{l-x}{2}$.
В результате,
$M_{2} = \mu g \tau \frac{(l-x)^{2}}{2}$;
$M_{тр} = \frac{\mu g \tau}{2} [x^{2}+(l-x)^{2}]$.
Момент внешней силы $F$ равен $M = F(l-x)$.
Чтобы повернуть брусок вокруг т. О, необходимо, чтобы $M = M_{тр}$.
$F(l-x) = \frac{\mu g \tau}{2} [x^{2}+(l-x)^{2}]$,
откуда
$F = \frac{\mu g \tau}{2} (l-x + \frac{x^{2}}{l-x})$.
Полученная формула дает зависимость положения т. О от величины силы $F$. При некоторых $x$ эта сила будет иметь наименьшее значение. Для определения величины $x$ возьмем производную от $F$ и приравняем ее к нулю:
$F^{ \prime} = \frac{\mu g \tau}{2} \left [-1 + \frac{2x}{l-x} + \frac{x^{2}}{(l-x)^{2}} \right ] = 0$.
Получаем уравнение:
$x^{2} - 2lx + \frac{l^{2}}{2} = 0$,
откуда
$x = l(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
Подставив это значение $x$ в формулу для $F$, получим:
$F_{min} = \mu mg (\sqrt{2}-1)$.
Однородный тонкий брусок массой $m$ лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по перпендикуляру к нему, его можно сдвинуть с места, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен $\mu$? (рис.).
Решение:
Прежде всего надо найти точку бруска, которая будет неподвижной. Обозначим расстояние от края бруска до этой точки через $x$ (рис. 229). При вращении бруска на него действует тормозящий момент сил трения, равный
$M_{тр} = M_{1} + M_{2}$,
где $M_{1}$ и $M_{2}$ - моменты сил трения, действующие соответственно на левую и правую части бруска.
Момент $M_{1}$ равен произведению силы трения, действующей на левую часть бруска, на среднее расстояние от края бруска до т. О:
$M_{1} = F_{тр_{1}} \cdot \overline{l_{1}} = \mu g \tau x \cdot \overline{l_{1}}$,
$\overline{l_{1}} = \frac{x}{2}$,
$\tau$ - линейная плотность бруска, $\tau = \frac{m}{l}$. Таким образом,
$M_{1} = \mu g \tau \cdot \frac{x^{2}}{2}$.
Аналогично,
$M_{2} = F_{тр_{2}} \cdot \overline{l_{2}} = \mu g \tau (l-x) \cdot \overline{l_{2}}$,
$\overline{l_{2}} = \frac{l-x}{2}$.
В результате,
$M_{2} = \mu g \tau \frac{(l-x)^{2}}{2}$;
$M_{тр} = \frac{\mu g \tau}{2} [x^{2}+(l-x)^{2}]$.
Момент внешней силы $F$ равен $M = F(l-x)$.
Чтобы повернуть брусок вокруг т. О, необходимо, чтобы $M = M_{тр}$.
$F(l-x) = \frac{\mu g \tau}{2} [x^{2}+(l-x)^{2}]$,
откуда
$F = \frac{\mu g \tau}{2} (l-x + \frac{x^{2}}{l-x})$.
Полученная формула дает зависимость положения т. О от величины силы $F$. При некоторых $x$ эта сила будет иметь наименьшее значение. Для определения величины $x$ возьмем производную от $F$ и приравняем ее к нулю:
$F^{ \prime} = \frac{\mu g \tau}{2} \left [-1 + \frac{2x}{l-x} + \frac{x^{2}}{(l-x)^{2}} \right ] = 0$.
Получаем уравнение:
$x^{2} - 2lx + \frac{l^{2}}{2} = 0$,
откуда
$x = l(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
Подставив это значение $x$ в формулу для $F$, получим:
$F_{min} = \mu mg (\sqrt{2}-1)$.
