Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16752
2025-04-15 
На крыше дома с углом наклона $\varphi$ лежит свинцовый лист. Температура воздуха в течение суток повышается, достигая наивысшего значения $t_{2}$, а потом понижается до минимальной температуры $t_{1}$, при которой длина листа равна $l$. Найдите точки листа, неподвижные при нагревании; при охлаждении. На какое расстояние сползет лист за $N$ суток устойчивой погоды? Коэффициент трения листа о крышу $\mu$; $\mu > \operatorname{tg} \varphi$. Температурный коэффициент линейного расширения листа $\alpha$.
Решение:
При расширении листа, находящегося на горизонтальной поверхности, его центр масс, совпадающий с серединой листа, остается неподвижным. Если лист находится на наклонной плоскости, то неподвижная точка листа не будет совпадать с центром масс. Найдем эту точку при нагревании листа (т. 1 на рис.). Обозначим расстояние от центра масс листа (т. О) до т. 1 через $x_{1}$.
В точке 1 верхняя и нижняя части листа действуют друг на друга с некоторой силой $F$, которая и обуславливает расширение листа. Запишем условия равновесия для нижней и верхней частей листа:
$\frac{mg}{2} (\frac{l}{2}+x_{1}) \cdot (\sin\varphi - \mu\cos\varphi) = -F$ (1)
$\frac{mg}{2} (\frac{l}{2}-x_{1}) \cdot (\sin\varphi + \mu\cos\varphi) = F$
Решив систему (1) относительно $x_{1}$, получим:
$x_{1} = \frac{l}{2\mu} \operatorname{tg} \varphi$.
Запишем теперь те же условия равновесия при охлаждении листа ( $x_{2}$ - расстояние от точки 2 до центра масс):
$\frac{mg}{2} (\frac{l}{2}-x_{2}) \cdot (\sin\varphi + \mu\cos\varphi) = F^{ \prime}$
$\frac{mg}{2} (\frac{l}{2}+x_{2}) \cdot (\sin\varphi - \mu\cos\varphi) = -F^{ \prime}$ (2)
Отсюда $x_{2} = \frac{l}{2\mu} \operatorname{tg}\varphi$, таким образом, $x_{1}=x_{2}$.
За один день при нагревании центр масс листа сползет на расстояние $\Delta x_{1} = x_{1}^{ \prime} - x_{1}$. $x_{1}^{ \prime}$ - расстояние от ц.м. до точки 1 в конце дня (при температуре $t_{2}$ ),
$x_{1}^{ \prime} = x_{1}[1+\alpha(t_{2}-t_{1})]$,
в результате,
$\Delta x_{1} = \frac{l}{2\mu} \alpha(t_{2}-t_{1}) \operatorname{tg}\varphi$.
За ночь лист тоже сползет вниз. Смещение ц.м. листа равно
$|\Delta x_{2}| = x_{2} - x_{2}^{ \prime}$,
$x_{2}^{ \prime}$ - расстояние от ц.м. до точки 2 в конце ночи (при температуре $t_{1}$),
$x_{2}^{ \prime} = x_{2}[1+\alpha(t_{1}-t_{2})]$.
Отсюда
$|\Delta x_{2}| = \frac{l}{2\mu} \alpha(t_{2}-t_{1}) \operatorname{tg} \varphi$.
Таким образом, за $N$ суток лист сползет на расстояние
$L = 2N \Delta x_{1} = \frac{l \alpha (t_{2}-t_{1}) N \operatorname{tg}\varphi}{\mu}$.
На крыше дома с углом наклона $\varphi$ лежит свинцовый лист. Температура воздуха в течение суток повышается, достигая наивысшего значения $t_{2}$, а потом понижается до минимальной температуры $t_{1}$, при которой длина листа равна $l$. Найдите точки листа, неподвижные при нагревании; при охлаждении. На какое расстояние сползет лист за $N$ суток устойчивой погоды? Коэффициент трения листа о крышу $\mu$; $\mu > \operatorname{tg} \varphi$. Температурный коэффициент линейного расширения листа $\alpha$.
Решение:
При расширении листа, находящегося на горизонтальной поверхности, его центр масс, совпадающий с серединой листа, остается неподвижным. Если лист находится на наклонной плоскости, то неподвижная точка листа не будет совпадать с центром масс. Найдем эту точку при нагревании листа (т. 1 на рис.). Обозначим расстояние от центра масс листа (т. О) до т. 1 через $x_{1}$.
В точке 1 верхняя и нижняя части листа действуют друг на друга с некоторой силой $F$, которая и обуславливает расширение листа. Запишем условия равновесия для нижней и верхней частей листа:
$\frac{mg}{2} (\frac{l}{2}+x_{1}) \cdot (\sin\varphi - \mu\cos\varphi) = -F$ (1)
$\frac{mg}{2} (\frac{l}{2}-x_{1}) \cdot (\sin\varphi + \mu\cos\varphi) = F$
Решив систему (1) относительно $x_{1}$, получим:
$x_{1} = \frac{l}{2\mu} \operatorname{tg} \varphi$.
Запишем теперь те же условия равновесия при охлаждении листа ( $x_{2}$ - расстояние от точки 2 до центра масс):
$\frac{mg}{2} (\frac{l}{2}-x_{2}) \cdot (\sin\varphi + \mu\cos\varphi) = F^{ \prime}$
$\frac{mg}{2} (\frac{l}{2}+x_{2}) \cdot (\sin\varphi - \mu\cos\varphi) = -F^{ \prime}$ (2)
Отсюда $x_{2} = \frac{l}{2\mu} \operatorname{tg}\varphi$, таким образом, $x_{1}=x_{2}$.
За один день при нагревании центр масс листа сползет на расстояние $\Delta x_{1} = x_{1}^{ \prime} - x_{1}$. $x_{1}^{ \prime}$ - расстояние от ц.м. до точки 1 в конце дня (при температуре $t_{2}$ ),
$x_{1}^{ \prime} = x_{1}[1+\alpha(t_{2}-t_{1})]$,
в результате,
$\Delta x_{1} = \frac{l}{2\mu} \alpha(t_{2}-t_{1}) \operatorname{tg}\varphi$.
За ночь лист тоже сползет вниз. Смещение ц.м. листа равно
$|\Delta x_{2}| = x_{2} - x_{2}^{ \prime}$,
$x_{2}^{ \prime}$ - расстояние от ц.м. до точки 2 в конце ночи (при температуре $t_{1}$),
$x_{2}^{ \prime} = x_{2}[1+\alpha(t_{1}-t_{2})]$.
Отсюда
$|\Delta x_{2}| = \frac{l}{2\mu} \alpha(t_{2}-t_{1}) \operatorname{tg} \varphi$.
Таким образом, за $N$ суток лист сползет на расстояние
$L = 2N \Delta x_{1} = \frac{l \alpha (t_{2}-t_{1}) N \operatorname{tg}\varphi}{\mu}$.
