ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2025-04-15   
На цилиндрический столб намотан один виток каната. Чтобы канат не скользил по столбу, когда его за один из концов тянут силой $F$, другой конец каната достаточно удерживать силой $f$. Как изменится удерживающая сила, если на столб намотано $n$ витков? Витки каната не соприкасаются друг с другом.


Решение:



Рассмотрим случай, когда на столб намотан один виток каната. Разобьем виток на малые элементы $dl$. На противоположные концы элемента $dl$ действуют различные силы натяжения: $T$ и $T^{ \prime}$. $T^{ \prime} = T - d F_{тр}$, где $dF_{тр}$ сила трения, действующая на элемент $dl$.

$dF_{тр} = \mu dN = \mu T d\varphi$.
$dT = T^{ \prime}-T = -dF_{тр} = - \mu T d\varphi$,

отсюда

$\frac{dT}{T} = -\mu d\varphi$.

Сила натяжения каната $T$ меняется в пределах от $F$ до $f$, поэтому интегрирование производится в этих же пределах:

$\int_{F}^{f} \frac{dT}{T} = -\mu \int_{0}^{2\pi} d\varphi$,
$\ln \frac{f}{F} = -2\pi\mu$,

отсюда отношение

$\frac{f}{F} = e^{-2\pi\mu}$.

При $n$ витках угол $\varphi$ меняется от нуля до $2\pi n$, поэтому

$\int_{F}^{f_{n}} \frac{dT}{T} = -\mu \int_{0}^{2\pi n} d\varphi$,
$\ln \frac{f_{n}}{F} = -2\pi\mu n$.

В итоге,

$f_{n} = F e^{-2\pi\mu n} = F \left( \frac{f}{F}\right)^{n}$.