ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2025-04-15   
Оси тонкостенного и сплошного цилиндров соединены невесомой штангой (рис.). Цилиндры скатываются без проскальзывания по наклонной плоскости с углом $\alpha$. Радиусы цилиндров одинаковы, масса каждого цилиндра $m$. Определите силу натяжения штанги.



Решение:



Для определения ускорения цилиндров применим З.С.Э.:

$2mgh = \frac{2mv^{2}}{2} + \frac{J_{1}\omega^{2}}{2} + \frac{J_{2}\omega^{2}}{2}$.
$J_{1} = \frac{mr^{2}}{2}$; $J_{2} = mr^{2}$.

Тогда

$\frac{1}{2} J_{1} \omega^{2} = \frac{1}{4}mv^{2}$, $\frac{1}{2} J_{2} \omega^{2} = \frac{1}{2}mv^{2}$,
$2mgh = \frac{7}{4}mv^{2}$; $v = \sqrt{\frac{8gh}{7}} = \sqrt{\frac{2ah}{\sin \alpha}}$,
$a = \frac{4}{7} g \sin \alpha$.

Результирующая сила трения

$F_{тр} = F_{1тр} + F_{2тр} = 2mg \sin \alpha - 2ma = \frac{6}{7} mg \sin \alpha$.

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения цилиндров:

$\begin{cases} ma = mg \sin \alpha - T - F_{1тр} \: 1-ый \: цилиндр \: \\ 2-ой \: цилиндр \: ma = mg \sin \alpha + T - F_{2тр} \end{cases}$

или,

$T + F_{1тр} = \frac{3}{7} mg \sin \alpha$, $F_{2тр} - T = \frac{3}{7} mg \sin \alpha$.

Найдем отношение $\frac{F_{2тр}}{F_{1тр}}$. Относительно осей цилиндров вращающий момент создается только силами трения, угловое ускорение цилиндров одинаково, поэтому

$J_{1} \mathcal{E} = M_{1} = F_{1тр} \cdot r$, $J_{2} \mathcal{E} = M_{2} = F_{2тр} \cdot r$,
$\frac{F_{2тр}}{F_{1тр}} = \frac{J_{2}}{J_{1}} = 2$.

Система уравнений для определения силы натяжения $T$ штанги будет иметь вид:

$\left\{ \begin{matrix} T + F_{1тр} = \frac{3}{7} mg \sin \alpha \\ 2F_{1тр} - T = \frac{3}{7} mg \sin \alpha \end{matrix} \right.$
$T = \frac{1}{7} mg \sin \alpha$.