Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16716
2025-04-15 
Спутник движется по круговой орбите на расстоянии от поверхности Земли, равном ее радиусу $R$. В некоторый момент со спутника запускается станция на другую планету, после чего оставшаяся часть спутника движется по эллиптической орбите, подходящей очень близко к поверхности Земли в точке, противоположной точке старта станции. Какую максимальную часть массы спутника может составлять масса межпланетной станции?
Решение:
Масса $m$ отделяемой станции будет максимальной, если ее запустить в том же направлении, в каком двигался спутник, при этом остаток спутника получит скорость $\vec{v}$, направленную против первоначальной скорости спутника $\vec{v_{1}}$. Пусть $v_{2}$ - скорость станции в СО «Земля», $M$ - первоначальная масса спутника. Согласно З.С.И.,
$M \vec{v_{1}} = m \vec{v_{2}} - (M-m) \vec{v}$,
где $(M-m)$ - масса остатка спутника, $v$ - его скорость в апогее. Отсюда,
$m = M \frac{v_{1}+v}{v_{2}+v}$.
Орбитальная скорость спутника $v_{1} = \sqrt{G \frac{M_{з}}{2R}}$.
Скорость станции должна быть такой, чтобы полная энергия станции была равна нулю.
$\frac{mv_{2}^{2}}{2} - G \frac{mM_{з}}{2R} = 0$, $v_{2} = \sqrt{G \frac{M_{з}}{R}}$.
Скорость «остатка» $v$ найдем, используя законы сохранения энергии и момента импульса :
$\frac{m_{1}v^{2}}{2} - G \frac{m_{1}M_{з}}{3R} = \frac{m_{1}u^{2}}{2} - G \frac{m_{1}M_{з}}{R}$; $2vR = uR$.
десь $m_{1} (= M-m), u$ - скорость «остатка» в перигее. Исключив $u$, найдем $v = \sqrt{G \frac{M_{з}}{3R}}$. В результате, искомое отношение
$\frac{m}{M} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}} \approx 0.81$.
Спутник движется по круговой орбите на расстоянии от поверхности Земли, равном ее радиусу $R$. В некоторый момент со спутника запускается станция на другую планету, после чего оставшаяся часть спутника движется по эллиптической орбите, подходящей очень близко к поверхности Земли в точке, противоположной точке старта станции. Какую максимальную часть массы спутника может составлять масса межпланетной станции?
Решение:
Масса $m$ отделяемой станции будет максимальной, если ее запустить в том же направлении, в каком двигался спутник, при этом остаток спутника получит скорость $\vec{v}$, направленную против первоначальной скорости спутника $\vec{v_{1}}$. Пусть $v_{2}$ - скорость станции в СО «Земля», $M$ - первоначальная масса спутника. Согласно З.С.И.,
$M \vec{v_{1}} = m \vec{v_{2}} - (M-m) \vec{v}$,
где $(M-m)$ - масса остатка спутника, $v$ - его скорость в апогее. Отсюда,
$m = M \frac{v_{1}+v}{v_{2}+v}$.
Орбитальная скорость спутника $v_{1} = \sqrt{G \frac{M_{з}}{2R}}$.
Скорость станции должна быть такой, чтобы полная энергия станции была равна нулю.
$\frac{mv_{2}^{2}}{2} - G \frac{mM_{з}}{2R} = 0$, $v_{2} = \sqrt{G \frac{M_{з}}{R}}$.
Скорость «остатка» $v$ найдем, используя законы сохранения энергии и момента импульса :
$\frac{m_{1}v^{2}}{2} - G \frac{m_{1}M_{з}}{3R} = \frac{m_{1}u^{2}}{2} - G \frac{m_{1}M_{з}}{R}$; $2vR = uR$.
десь $m_{1} (= M-m), u$ - скорость «остатка» в перигее. Исключив $u$, найдем $v = \sqrt{G \frac{M_{з}}{3R}}$. В результате, искомое отношение
$\frac{m}{M} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}} \approx 0.81$.
