ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2025-04-15   
Какую скорость надо сообщить телу небольшой массы $m$ в центре астероида массы $M$ и радиуса $R$, чтобы оно через радиальную шахту ушло от астероида бесконечно далеко (рис.)? Астероид считать однородным.



Решение:


Значение начальной скорости определим из З.С.Э.:

$\frac{m v_{0}^{2}}{2} + E_{p_{0}} = 0$ (1).

Таким образом, для определения $v_{0}$ надо знать значение потенциальной энергии взаимодействия $E_{p_{0}}$ тела и астероида в центре астероида. Найдем работу сил тяготения при движении тела по радиусу от $r_{1}=0$ до $r_{2}=R$.

$A = - \overline{F_{T}} \cdot S$,

где $S$ - путь, пройденный телом, $S=R$, $\overline{F_{T}}$ - средняя сила тяготения, равная :

$\overline{F_{r}} = \frac{4}{3} \pi G \rho m \overline{r}$, $\overline{r} = \frac{R}{2}$.

Таким образом,

$A = -\frac{4}{3} \pi G \rho m \frac{R^{2}}{2} = - G \frac{mM}{2R}$.

Работа $A$ равна изменению потенциальной энергии тела, взятой с обратным знаком:

$A = -\Delta E_{p} = -(E_{p2}-E_{p1})$,
$E_{p2} = -G \frac{mM}{R}$, $E_{p1} = E_{p_{0}}$;

следовательно:

$-G \frac{mM}{2R} = G \frac{mM}{R} + E_{p_{0}}$,
$E_{p_{0}} = -\frac{3}{2} G \frac{mM}{R}$. (2).

Подставив (2) в (1), находим:

$v_{0} = \sqrt{3 G \frac{M}{R}}$.