ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-12-24   
Маятник представляет собой шарнирно прикреплённый к потолку жёсткий лёгкий стержень длины $4l$, па котором закреплены два маленьких груза массой $m$ каждый, как показано на рисунке. Трением в шарнире и сопротивлением воздуха можно пренебречь.
1) Стержень отклоняют нa угол $\phi_{0} = 60^{ \circ}$ от вертикали и отпускают без толчка. Найдите максимальную скорость движения нижнего груза.
2) Найдите период колебаний маятника при малых отклонениях от положения равновесия.



Решение:


1} Обозначим скорость нижнего груза через $v$, тогда скорость верхнего будет $v/4$. Из закона сохранения энергии

$\frac{m(v/4)^{2}}{2} + \frac{mv^{2}}{2} = mgl(1 - \cos \phi_{0}) + mg4l (1 - \cos \phi_{0})$

находим

$v = 4 \sqrt{ \frac{10}{17} gl(1- \cos \phi_{0})} = 4 \sqrt{ \frac{5}{17} gl}$.

2) Для нахождения периода колебаний необходимо получить уравнение гармонических колебаний $\ddot{ \phi} + \omega^{2} \phi = 0$ и тогда $T = 2 \pi / \omega$. Запишем закон сохранения энергии в виде ($\dot{ \phi}$ - угловая скорость маятника):

$\frac{m(l \dot{ \phi})^{2}}{2} + \frac{m(4l \dot{ \phi})^{2}}{2} - mgl \cos \phi - mg 4l \cos \phi = const$.

После упрощений

$17l \dot{ \phi^{2}} - 10g \cos \phi = const$.

Продифференцируем это соотношение по времени:

$17l 2 \dot{ \phi} \ddot{ \phi} + 10g \sin \phi \dot{ \phi} = 0$,

или

$\ddot{ \phi} + \frac{5g}{17l} \sin \phi = 0$.

При малых $\phi ( \sin \phi \approx \phi)$ получаем уравнение гармонических колебаний

$\ddot{ \phi} + \frac{5g}{17l} \phi = 0$,

из которого находим

$\omega^{2} = \frac{5g}{17l}m T = 2 \pi \sqrt{ \frac{17l}{5g}}$.