ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2025-04-15   
Тонкая пластинка массы $m_{1}$, движущаяся со скоростью $\upsilon_{0}$, ударяется о неподвижную тонкую пластинку массы $m_{2}$, расположенную параллельно первой. Скорость $\upsilon_{0}$ составляет угол $\varphi$ с плоскостью пластин (рис. 44). Удар абсолютно упругий, трения нет. С какими скоростями будут двигаться пластинки после удара?



Решение:



В процессе взаимодействия пластинка массы $m_{2}$ приобретет импульс, проекции которого на координатные оси (см. рис.) равны:

$P_{2x} = m_{2}v_{2} \sin \psi$, $P_{2y} = m_{2}v_{2} \cos \psi$.

В соответствии с З.С.И. имеем:

$|\Delta P_{1x}| = |\Delta P_{2x}|$, $|\Delta P_{1y}| = |\Delta P_{2y}|$,

или

$m_{1}(v_{0}-v_{1x}) = m_{2}v_{2} \sin \psi$,
$-m_{1}v_{1y} = m_{2}v_{2} \cos \psi$.
$v_{1x} = v_{0} - \frac{m_{2}}{m_{1}}v_{2} \sin \psi$,
$v_{1y} = -\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{2} \cos \psi$.

Тогда

$v_{1}^{2} = v_{1x}^{2} + v_{2x}^{2} = v_{0}^{2} + (\frac{m_{2}v_{2}}{m_{1}})^{2} - 2 \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{0}v_{2} \sin \psi$ (1).

З.С.Э. дает уравнение:

$v_{1}^{2} = v_{0}^{2} - \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{2}^{2}$. (2)

Вычитая уравнение (1) из уравнения (2), получим:

$v_{2} \left (1 + \frac{m_{2}}{m_{1}} \right ) \frac{m_{2}}{m_{1}} = 2 \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{0} \sin \psi$, $v_{2} = \frac{2m_{1}v_{0} \sin \psi}{m_{1}+m_{2}}$.

Подставив в (1) полученное выражение для $v_{2}$, после некоторых преобразований, получаем:

$v_{1} = v_{0} \frac{\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2} \cos 2\psi}}{m_{1}+m_{2}}$.