ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2025-04-15   
Три абсолютно упругих шара одинаковых радиусов, массы которых равны $m_{1}$, $m_{2}$ и $m_{3}$, лежат на гладком горизонтальном столе так, что их центры расположены на одной прямой. Крайнему шару массой $m_{1}$ сообщают скорость вдоль линии центров шаров. При каком соотношении масс шар массой $m_{2}$ столкнется дважды с шаром массой $m_{1}$ (рис.)?



Решение:


Повторное столкновение произойдет в том случае, если скорость второго шара после удара с третьим будет меньше скорости первого шара. Используя результаты задачи 16661, запишем:

$v_{1}^{ \prime} = \frac{v_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}} = v \cdot \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$,
$v_{2}^{ \prime} = \frac{v_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}} = \frac{2m_{1}v}{m_{1}+m_{2}}$.

Скорость второго шара после столкновения с третьим равна

$v_{2}^{ \prime \prime} = \frac{v_{2}^{ \prime}(m_{2}-m_{3})}{m_{2}+m_{3}} = \frac{2m_{1}v(m_{2}-m_{3})}{(m_{1}+m_{2})(m_{2}+m_{3})}$.

Из условия $v_{1}^{ \prime} > v_{2}^{ \prime \prime}$ получаем:

$\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} > \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \cdot \frac{m_{2}-m_{3}}{m_{2}+m_{3}}$.

Отсюда вытекает соотношение:

$3m_{1}m_{3} > m_{2}(m_{1}+m_{2}+m_{3})$.