Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16663
2025-04-15 
Частица массой $m_{1}$ налетает на шар массой $m_{2}$. Направление ее движения составляет угол $\alpha$ с нормалью к поверхности шара (рис. 40). Под каким углом $\beta$ к этой нормали отскочит от шара частица, если шар сначала покоился, а удар упругий?
Решение:
Пусть $v$ - скорость частицы перед ударом, а $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости соответственно частицы и шара после удара.
Запишем З.С.И. в проекциях на оси Х, Y и З.С.Э.:
$m_{1}v \cos \alpha = m_{2}v_{2} - m_{1}v_{1} \cos \beta$ (1)
$m_{1}v \sin \alpha = m_{1}v_{1} \sin \beta$ (2)
$\frac{m_{1}v^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$ (3).
Из (1) и (3) находим:
$\cos \beta = \frac{1}{v_{1}} (\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}(v^{2}-v_{1}^{2})} - v \cos \alpha)$.
Подставив $v_{1} = v \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$, получим
$\cos \beta = \frac{v}{v_{1}} \cdot (\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}(1-\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\beta})} - \cos \alpha)$.
Тогда
$tg \beta = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}(1 - \frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\beta})} - \cos \alpha}$.
Учитывая, что $\frac{1}{\sin^{2}\beta} = 1 + ctg^{2}\beta$,
получаем квадратное уравнение:
$tg^{2}\beta - 2tg\alpha \cdot \frac{m_{1}}{m_{2}-m_{1}} \cdot tg\beta - tg^{2}\alpha \cdot \frac{m_{2}+m_{1}}{m_{2}-m_{1}} = 0$.
Отсюда
$tg \beta = tg \alpha \cdot \frac{m_{2}+m_{1}}{m_{2}-m_{1}}$.
Частица массой $m_{1}$ налетает на шар массой $m_{2}$. Направление ее движения составляет угол $\alpha$ с нормалью к поверхности шара (рис. 40). Под каким углом $\beta$ к этой нормали отскочит от шара частица, если шар сначала покоился, а удар упругий?
Решение:
Пусть $v$ - скорость частицы перед ударом, а $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости соответственно частицы и шара после удара.
Запишем З.С.И. в проекциях на оси Х, Y и З.С.Э.:
$m_{1}v \cos \alpha = m_{2}v_{2} - m_{1}v_{1} \cos \beta$ (1)
$m_{1}v \sin \alpha = m_{1}v_{1} \sin \beta$ (2)
$\frac{m_{1}v^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$ (3).
Из (1) и (3) находим:
$\cos \beta = \frac{1}{v_{1}} (\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}(v^{2}-v_{1}^{2})} - v \cos \alpha)$.
Подставив $v_{1} = v \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$, получим
$\cos \beta = \frac{v}{v_{1}} \cdot (\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}(1-\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\beta})} - \cos \alpha)$.
Тогда
$tg \beta = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}(1 - \frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\beta})} - \cos \alpha}$.
Учитывая, что $\frac{1}{\sin^{2}\beta} = 1 + ctg^{2}\beta$,
получаем квадратное уравнение:
$tg^{2}\beta - 2tg\alpha \cdot \frac{m_{1}}{m_{2}-m_{1}} \cdot tg\beta - tg^{2}\alpha \cdot \frac{m_{2}+m_{1}}{m_{2}-m_{1}} = 0$.
Отсюда
$tg \beta = tg \alpha \cdot \frac{m_{2}+m_{1}}{m_{2}-m_{1}}$.
