Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16661
2025-04-15 
По идеально гладкой горизонтальной поверхности движутся два абсолютно упругих шара массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Скорости шаров до столкновения соответственно $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$. Определите скорости шаров после удара, считая его центральным.
Решение:
1-ый способ.
Запишем законы сохранения энергии и импульса (для упрощения записи уравнений знаки проекций опущены):
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{ \prime 2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{ \prime 2}}{2}$; $m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}v_{1}^{ \prime} + m_{2}v_{2}^{ \prime}$.
Перепишем эти уравнения в виде:
$m_{1}(v_{1}^{2} - v_{1}^{ \prime 2}) = m_{2}(v_{2}^{ \prime 2} - v_{2}^{2})$; $m_{1}(v_{1} - v_{1}^{ \prime}) = m_{2}(v_{2}^{ \prime} - v_{2})$.
Разделив первое уравнение на второе, получим:
$v_{1} + v_{1}^{ \prime} = v_{2} + v_{2}^{ \prime}$,
после чего находим скорости шаров после удара:
$v_{1}^{ \prime} = \frac{v_{1}(m_{1}-m_{2}) + 2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$, $v_{2}^{ \prime} = \frac{v_{2}(m_{2}-m_{1}) + 2m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}$.
2-ой способ.
Скорость центра масс шаров равна
$v_{0} = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$.
В СО «ц.м.» скорости первого и второго шаров равны:
$v_{01} = v_{1} - v_{0} = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})$, $v_{02} = v_{2} - v_{0} = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}(v_{2}-v_{1})$.
После удара скорости шаров изменятся на противоположные:
$v_{01}^{ \prime} = -v_{01} = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{2}-v_{1})$; $v_{02}^{ \prime} = -v_{02} = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})$.
Переходя в неподвижную СО, получим такие же выражения для скоростей $v_{1}^{ \prime}$ и $v_{2}^{ \prime}$.
По идеально гладкой горизонтальной поверхности движутся два абсолютно упругих шара массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Скорости шаров до столкновения соответственно $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$. Определите скорости шаров после удара, считая его центральным.
Решение:
1-ый способ.
Запишем законы сохранения энергии и импульса (для упрощения записи уравнений знаки проекций опущены):
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{ \prime 2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{ \prime 2}}{2}$; $m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}v_{1}^{ \prime} + m_{2}v_{2}^{ \prime}$.
Перепишем эти уравнения в виде:
$m_{1}(v_{1}^{2} - v_{1}^{ \prime 2}) = m_{2}(v_{2}^{ \prime 2} - v_{2}^{2})$; $m_{1}(v_{1} - v_{1}^{ \prime}) = m_{2}(v_{2}^{ \prime} - v_{2})$.
Разделив первое уравнение на второе, получим:
$v_{1} + v_{1}^{ \prime} = v_{2} + v_{2}^{ \prime}$,
после чего находим скорости шаров после удара:
$v_{1}^{ \prime} = \frac{v_{1}(m_{1}-m_{2}) + 2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$, $v_{2}^{ \prime} = \frac{v_{2}(m_{2}-m_{1}) + 2m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}$.
2-ой способ.
Скорость центра масс шаров равна
$v_{0} = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$.
В СО «ц.м.» скорости первого и второго шаров равны:
$v_{01} = v_{1} - v_{0} = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})$, $v_{02} = v_{2} - v_{0} = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}(v_{2}-v_{1})$.
После удара скорости шаров изменятся на противоположные:
$v_{01}^{ \prime} = -v_{01} = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{2}-v_{1})$; $v_{02}^{ \prime} = -v_{02} = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})$.
Переходя в неподвижную СО, получим такие же выражения для скоростей $v_{1}^{ \prime}$ и $v_{2}^{ \prime}$.
