ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2025-04-15   
Космическая станция состоит из двух отсеков массой $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенных длинным однородным тросом длиной $L$. Станция вращается вокруг оси, перпендикулярной тросу. Какова угловая скорость вращения, если сила натяжения троса вблизи первого отсека равна $T_{1}$, а вблизи второго - $T_{2}$? Какова масса троса?


Решение:



Сначала определим положение центра масс станции (т. X = 0 на рис.) относительно отсеков станции:

$x_{0} = 0 = \frac{-m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2} - mr}{m_{1}+m_{2}+m}$,
$-m_{1}r_{1}+m_{2}(l-r_{1}) = m \left (r_{1}-\frac{l}{2} \right )$.

Откуда

$r_{1} = \frac{m+2m_{2}}{2(m_{1}+m_{2}+m)} \cdot L$;
$r_{2} = \frac{m+2m_{1}}{2(m_{1}+m_{2}+m)} \cdot L$.

Сила $T_{1}$ сообщает центростремительное ускорение отсеку массы $m_{1}$

$T_{1} = m_{1} \omega^{2} r_{1} = \frac{m_{1}(m+2m_{2})}{2(m_{1}+m_{2}+m)} \cdot \omega^{2} L$ (1).

Аналогично,

$T_{2} = m_{2} \omega^{2} r_{2} = \frac{m_{2}(m+2m_{1})}{2(m_{1}+m_{2}+m)} \cdot \omega^{2} L$ (2).

Разделив уравнения (1) и (2) друг на друга, найдем массу троса:

$m = 2 m_{1} m_{2} (T_{1}-T_{2}) \cdot \frac{1}{m_{1} T_{2} - m_{2} T_{1}}$.

Подставив это выражение в (1) или (2), найдем угловую скорость вращения станции :

$\omega = \sqrt{\frac{m_{1} T_{2} + m_{2} T_{1}}{m_{1} m_{2} L}}$.