Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16598
2025-04-15 
Из тонкого резинового жгута массой $m$ и жесткостью $л$ сделали кольцо радиуса $R_{0}$. Это кольцо раскрутили вокруг его оси с угловой скоростью $\omega$. Найдите новый радиус кольца.
Решение:
Мысленно разобьем кольцо на малые участки, размеры которых малы по сравнению с радиусом кольца, массу каждого участка обозначим $\Delta m$. При вращении кольца с угловой скоростью $\omega$ на элемент $\Delta m$ действует центростремительная сила
$\Delta F = \Delta m \cdot \omega^{2} R$.
Сила $\Delta F$ является равнодействующей сил натяжения кольца $T$, действующих на противоположные стороны элемента $\Delta m$. Пусть $\Delta \alpha$ - угол, под которым «виден» из центра кольца элемент $\Delta m$, тогда $\Delta F = 2T \sin \frac{\Delta \alpha}{2}$. Для малых углов ($\Delta \alpha \ll 1$ рад) $\sin \Delta \alpha \approx \alpha$, и $\Delta F \approx T \Delta \alpha$. Центростремительная сила, действующая на все кольцо, равна арифметической сумме сил, действующих на каждый элемент кольца в отдельности:
$F = m \omega^{2} R = 2 \pi T$; $| \alpha = 2 \pi$.
Сила натяжения кольца
$T = kx = k \cdot 2 \pi (R - R_{0})$.
В результате,
$F = m \omega^{2} R = 4 \pi^{2} k (R - R_{0})$.
Отсюда искомый радиус равен
$R = \frac{R_{0}}{1 - \frac{ m \omega^{2}}{ 4 \pi^{2} k}}$.
Из тонкого резинового жгута массой $m$ и жесткостью $л$ сделали кольцо радиуса $R_{0}$. Это кольцо раскрутили вокруг его оси с угловой скоростью $\omega$. Найдите новый радиус кольца.
Решение:
Мысленно разобьем кольцо на малые участки, размеры которых малы по сравнению с радиусом кольца, массу каждого участка обозначим $\Delta m$. При вращении кольца с угловой скоростью $\omega$ на элемент $\Delta m$ действует центростремительная сила
$\Delta F = \Delta m \cdot \omega^{2} R$.
Сила $\Delta F$ является равнодействующей сил натяжения кольца $T$, действующих на противоположные стороны элемента $\Delta m$. Пусть $\Delta \alpha$ - угол, под которым «виден» из центра кольца элемент $\Delta m$, тогда $\Delta F = 2T \sin \frac{\Delta \alpha}{2}$. Для малых углов ($\Delta \alpha \ll 1$ рад) $\sin \Delta \alpha \approx \alpha$, и $\Delta F \approx T \Delta \alpha$. Центростремительная сила, действующая на все кольцо, равна арифметической сумме сил, действующих на каждый элемент кольца в отдельности:
$F = m \omega^{2} R = 2 \pi T$; $| \alpha = 2 \pi$.
Сила натяжения кольца
$T = kx = k \cdot 2 \pi (R - R_{0})$.
В результате,
$F = m \omega^{2} R = 4 \pi^{2} k (R - R_{0})$.
Отсюда искомый радиус равен
$R = \frac{R_{0}}{1 - \frac{ m \omega^{2}}{ 4 \pi^{2} k}}$.
