Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16566
2025-04-15 
В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках 1 и 2, расположенных на одной горизонтали (рис.). Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен $T_{1}$, а при движении шарика справа налево - $T_{2} \ne T_{1}$. Определите радиус лунки.
Решение:
Соударения шарика с лункой являются упругими, поэтому величина скорости шарика при ударе не меняется; кроме того, выполняется закон отражения: угол падения $(\gamma)$ равен углу отражения.
$Д$ - горизонтальная дальность полета, $\alpha$ и $\beta$ - углы между скоростью шарика и горизонтом соответственно для траекторий $a$ и $b$. Исходя из чертежа (рис.), запишем:
$\cos(\beta + \gamma) = \frac{h}{2R}$; $R = \frac{L}{2} \cos(\beta+\gamma)$.
Для траектории $a$ период $T_{1} = 2 \upsilon \sin \alpha / g$;
Для траектории $b$ период $T_{2} = 2 \upsilon \sin \beta / g$;
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta}$.
Дальность полета $L$ для обеих траекторий одинакова, поэтому
$L = \upsilon \cos \alpha \cdot T_{1} = \upsilon \cos \beta \cdot T_{2}$;
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$.
Отсюда $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$; $\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta$; $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \operatorname{tg} \alpha$;
$\gamma = \frac{\alpha - \beta}{2}$; $\gamma + \beta = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{4}$; $\cos(\gamma + \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Определим теперь начальную скорость шарика:
$\upsilon = \frac{T_{1} \cdot g}{2 \sin \alpha} = \frac{T_{1} \cdot g}{2} \sqrt{1 + \left ( \frac{ T_{2}}{T_{1}} \right )^{2}} = \frac{g}{2} \sqrt{T_{1}^{2} + T_{2}^{2}}$.
Подставив $\cos \alpha = (1 + \operatorname{tg}^{2}\alpha)^{- \frac{1}{2}}$, найдем искомый радиус лунки: $R = \frac{g \cdot T_{1} \cdot T_{2}}{2\sqrt{2}}$.
В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках 1 и 2, расположенных на одной горизонтали (рис.). Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен $T_{1}$, а при движении шарика справа налево - $T_{2} \ne T_{1}$. Определите радиус лунки.
Решение:
Соударения шарика с лункой являются упругими, поэтому величина скорости шарика при ударе не меняется; кроме того, выполняется закон отражения: угол падения $(\gamma)$ равен углу отражения.
$Д$ - горизонтальная дальность полета, $\alpha$ и $\beta$ - углы между скоростью шарика и горизонтом соответственно для траекторий $a$ и $b$. Исходя из чертежа (рис.), запишем:
$\cos(\beta + \gamma) = \frac{h}{2R}$; $R = \frac{L}{2} \cos(\beta+\gamma)$.
Для траектории $a$ период $T_{1} = 2 \upsilon \sin \alpha / g$;
Для траектории $b$ период $T_{2} = 2 \upsilon \sin \beta / g$;
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta}$.
Дальность полета $L$ для обеих траекторий одинакова, поэтому
$L = \upsilon \cos \alpha \cdot T_{1} = \upsilon \cos \beta \cdot T_{2}$;
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$.
Отсюда $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$; $\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta$; $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \operatorname{tg} \alpha$;
$\gamma = \frac{\alpha - \beta}{2}$; $\gamma + \beta = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{4}$; $\cos(\gamma + \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Определим теперь начальную скорость шарика:
$\upsilon = \frac{T_{1} \cdot g}{2 \sin \alpha} = \frac{T_{1} \cdot g}{2} \sqrt{1 + \left ( \frac{ T_{2}}{T_{1}} \right )^{2}} = \frac{g}{2} \sqrt{T_{1}^{2} + T_{2}^{2}}$.
Подставив $\cos \alpha = (1 + \operatorname{tg}^{2}\alpha)^{- \frac{1}{2}}$, найдем искомый радиус лунки: $R = \frac{g \cdot T_{1} \cdot T_{2}}{2\sqrt{2}}$.
