Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16509
2025-01-30 
От неподвижного мяча удаляется массивная плита с постоянной скоростью $u = 2 \, \text{м/с}$, направленной вертикально вниз и перпендикулярно поверхности плиты. В момент, когда плита находилась на расстоянии $L = 0,3 \text{м}$ от мяча, его отпускают. На какое максимальное расстояние от плиты удалится мяч после удара? Масса плиты намного больше массы мяча.
Решение:
Сделаем рис., выберем ось координат. Разобьем решение на два этапа: первый до соударения, второй – после.
1. Уравнения движения мяча и плиты:
$y_{1} = \frac{gt^{2}}{2}, \quad y_{2} = L + vt.$
В момент встречи
$y_{1} = y_{2} =y_{в} \Rightarrow \quad \frac{gt^{2}}{2} = L + vt_{в}.$
Отсюда момент времени встречи
$t_{в} = \frac{v}{g} + \sqrt{\frac{v^{2}}{g^{2}} + \frac{2L}{g}}.$
Скорость мяча в этот момент
$U = gt_{в} = v + \sqrt{v^{2} + 2gL}.$
2. После соударения начальная скорость мяча
$U_{1y} = 2v - U = v - \sqrt{v^{2} + 2gL} \, (1).$
Уравнения движения мяча и плиты:
$y_{1} = U_{1y} t + \frac{gt^{2}}{2} + y_{d}, \quad y_{2} = vt + y_{d}.$
Расстояние между телами:
$S = y_{2} - y_{1} = -U_{1y} t - \frac{gt^{2}}{2} + vt \, (2).$
Для нахождения max возьмем производную по времени от $S$ и приравняем ее к нулю:
$S^{ \prime} = -U_{1y} - gt_{m} + v = 0.$ Отсюда $t_{m} = \frac{v - U_{y}}{g}.$
Подставив это время в (2), получим
$S_{m} = \frac{(v - U_{1y})^{2}}{2g}.$
Подставим в это выражение формулу (1), раскроем скобки (возведем в квадрат) и после некоторых преобразований найдем
$S_{m} = L + \frac{v^{2}}{2g}.$
Ответ: $S_{m} = 0,5 \, м.$
От неподвижного мяча удаляется массивная плита с постоянной скоростью $u = 2 \, \text{м/с}$, направленной вертикально вниз и перпендикулярно поверхности плиты. В момент, когда плита находилась на расстоянии $L = 0,3 \text{м}$ от мяча, его отпускают. На какое максимальное расстояние от плиты удалится мяч после удара? Масса плиты намного больше массы мяча.
Решение:
Сделаем рис., выберем ось координат. Разобьем решение на два этапа: первый до соударения, второй – после.
1. Уравнения движения мяча и плиты:
$y_{1} = \frac{gt^{2}}{2}, \quad y_{2} = L + vt.$
В момент встречи
$y_{1} = y_{2} =y_{в} \Rightarrow \quad \frac{gt^{2}}{2} = L + vt_{в}.$
Отсюда момент времени встречи
$t_{в} = \frac{v}{g} + \sqrt{\frac{v^{2}}{g^{2}} + \frac{2L}{g}}.$
Скорость мяча в этот момент
$U = gt_{в} = v + \sqrt{v^{2} + 2gL}.$
2. После соударения начальная скорость мяча
$U_{1y} = 2v - U = v - \sqrt{v^{2} + 2gL} \, (1).$
Уравнения движения мяча и плиты:
$y_{1} = U_{1y} t + \frac{gt^{2}}{2} + y_{d}, \quad y_{2} = vt + y_{d}.$
Расстояние между телами:
$S = y_{2} - y_{1} = -U_{1y} t - \frac{gt^{2}}{2} + vt \, (2).$
Для нахождения max возьмем производную по времени от $S$ и приравняем ее к нулю:
$S^{ \prime} = -U_{1y} - gt_{m} + v = 0.$ Отсюда $t_{m} = \frac{v - U_{y}}{g}.$
Подставив это время в (2), получим
$S_{m} = \frac{(v - U_{1y})^{2}}{2g}.$
Подставим в это выражение формулу (1), раскроем скобки (возведем в квадрат) и после некоторых преобразований найдем
$S_{m} = L + \frac{v^{2}}{2g}.$
Ответ: $S_{m} = 0,5 \, м.$
