Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16508
2025-01-30 
Определить, на сколько путь, пройденный свободно падающим телом в $n$-ю секунду, больше пути, пройденного в предыдущую секунду.
Решение:
Сделаем рисунок и запишем уравнения движения в общем виде:
$x = x_{0} + v_{0x} t + \frac{a_{x} t^{2}}{2}, \quad x_{0} = 0, v_{0x} = 0.$
$v_{x} = v_{0x} + a_{x} t, a_{x} = g.$
Запишем рабочую систему уравнений
$x = \frac{gt^{2}}{2}, \quad v_{x} = gt.$
Запишем уравнение для координаты в моменты времени $t_{n-2}, t_{n-1}, t_{n}$:
$x_{n-2} = \frac{gt_{n-2}^{2}}{2} = \frac{g(n-2)^{2}}{2}, \quad (1)$
$x_{n-1} = \frac{gt_{n-1}^{2}}{2} = \frac{g(n-1)^{2}}{2}, \quad (2)$
$x_{n} = \frac{gt_{n}^{2}}{2} = \frac{g(n)^{2}}{2}. \quad (3)$
Пути будут определяться как разности координат:
$S_{n-1} = x_{n-1} - x_{n-2}, \quad S_{n} = x_{n} - x_{n-1}. \quad (4)$
Вообще, полезно запомнить таблицу соответствий:
$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{ Момент времени, } t \rightarrow & \text{Координата, } x \\\hline\text{Промежуток времени, } \Delta t \rightarrow & \text{Путь, } |\Delta x| \\\hline\end{array}$
Подставляя (1), (2), (3) в (4), получим
$S_{n-1} = \frac{g}{2}(2n-3), \quad S_{n} = \frac{g}{2}(2n-1).$
Отсюда $S_{n} - S_{n-1} = g.$
Замечательно то, что результат не зависит от $n$, следовательно, при свободном падении тело проходит
$S_{1} = \frac{g}{2}$ – в первую секунду падения,
$S_{2} = \frac{g}{2} + g = \frac{3g}{2}$ – во вторую секунду,
$S_{3} = \frac{5g}{2}$ – в третью секунду,
$S_{n} = \frac{(2n+1)}{2} g$ – в $n$-ю секунду.
При этом: $S_{1} : S_{2} : S_{3} ... = 1 : 3 : 5...$
Самостоятельно докажите, что так же относятся пути, проходимые свободно падающим телом за любые равные промежутки времени.
Определить, на сколько путь, пройденный свободно падающим телом в $n$-ю секунду, больше пути, пройденного в предыдущую секунду.
Решение:
Сделаем рисунок и запишем уравнения движения в общем виде:
$x = x_{0} + v_{0x} t + \frac{a_{x} t^{2}}{2}, \quad x_{0} = 0, v_{0x} = 0.$
$v_{x} = v_{0x} + a_{x} t, a_{x} = g.$
Запишем рабочую систему уравнений
$x = \frac{gt^{2}}{2}, \quad v_{x} = gt.$
Запишем уравнение для координаты в моменты времени $t_{n-2}, t_{n-1}, t_{n}$:
$x_{n-2} = \frac{gt_{n-2}^{2}}{2} = \frac{g(n-2)^{2}}{2}, \quad (1)$
$x_{n-1} = \frac{gt_{n-1}^{2}}{2} = \frac{g(n-1)^{2}}{2}, \quad (2)$
$x_{n} = \frac{gt_{n}^{2}}{2} = \frac{g(n)^{2}}{2}. \quad (3)$
Пути будут определяться как разности координат:
$S_{n-1} = x_{n-1} - x_{n-2}, \quad S_{n} = x_{n} - x_{n-1}. \quad (4)$
Вообще, полезно запомнить таблицу соответствий:
$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{ Момент времени, } t \rightarrow & \text{Координата, } x \\\hline\text{Промежуток времени, } \Delta t \rightarrow & \text{Путь, } |\Delta x| \\\hline\end{array}$
Подставляя (1), (2), (3) в (4), получим
$S_{n-1} = \frac{g}{2}(2n-3), \quad S_{n} = \frac{g}{2}(2n-1).$
Отсюда $S_{n} - S_{n-1} = g.$
Замечательно то, что результат не зависит от $n$, следовательно, при свободном падении тело проходит
$S_{1} = \frac{g}{2}$ – в первую секунду падения,
$S_{2} = \frac{g}{2} + g = \frac{3g}{2}$ – во вторую секунду,
$S_{3} = \frac{5g}{2}$ – в третью секунду,
$S_{n} = \frac{(2n+1)}{2} g$ – в $n$-ю секунду.
При этом: $S_{1} : S_{2} : S_{3} ... = 1 : 3 : 5...$
Самостоятельно докажите, что так же относятся пути, проходимые свободно падающим телом за любые равные промежутки времени.
