Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 165
2014-05-31 
Шарик налетает с горизонтальной скоростью $v_{0}$ на наклонную плоскость с углом при основании $\alpha$. Его удары о плоскость абсолютно упругие. Время удара пренебрежимо мало. Найдите максимальное удаление шарика от нормали к плоскости, проведенной через точку падения, время этого удаления и число соударений с плоскостью.
Решение:
Ось х декартовой системы координат направим вдоль наклонной плоскости вверх, ось у - перпендикулярно к плоскости через точку падения. В момент перед ударом скорость шарика $v_{0}$ ее составляющие на оси х и у :
$v_{0x}=v_{0} \cos \alpha, v_{0y}=v_{0} \sin \alpha$.
При ударе сила нормальной реакции плоскости меняет только у - компоненту скорости. Удар абсолютно упругий, поэтому после удара $v_{0y}^{\prime}= - v_{0y}$, х - компонента не меняется: $ v^{\prime}_{0x}= v_{0x}$. После первого удаpa:
$ v^{\prime}_{0x} = v_{0} \cos \alpha, v^{\prime}_{0y} = v_{0} \sin \alpha $.
После каждого следующего удара х - компонента не меняется, у - компонента только меняет знак.
Скорость шарика $v$ и расстояние $r$ между точками первого и второго ударов:
$\bar{v}=\bar{v_{0}} + \bar{g}t, \bar{r} = v_{0}^{\prime} t + \bar{g}t^{2}/2$.
В проекциях на оси х и у:
$v_{x}=v_{0} \cos \alpha – g \sin \alpha t, x= v_{0} \cos \alpha t – g \sin \alpha t^{2}/2$, (1)
$v_{y}=v_{0} \sin \alpha – g \cos \alpha t, x= v_{0} \sin \alpha t – g \cos \alpha t^{2}/2$, (2)
Время удара пренебрежимо мало, и х-компонента скорости за это время не меняется, поэтому уравнения (1) справедливы не точно между первым и вторым ударами, но и во все время движения и не позволяет использовать уравнения (1) для нахождения максимального удаления $x_{max}$ шарика от оси у и времени $t_{max}$, затрачиваемого на это движение.
В момент времени $t=t_{max}$ составляющая скорости $v_{x}$, обращается в ноль:
$0 = v_{0} \cos \alpha – g \sin \alpha t_{max}$,
откуда
$t_{max}=\frac{v_{0}}{g} ctg \: \alpha$.
Полагая во втором уравнении (1) $t=t_{max}$, получаем
$x_{max}= \frac{1}{2} \frac{v^{2}_{0}}{g} \cos \alpha ctg \: \alpha$.
Найдем промежуток времени $t$ между первым и вторым ударами. Для этого воспользуемся вторым уравнением (2). Поскольку удар о наклонную плоскость происходит в точках с $y = 0$, из второго уравнения (2) находим
$t_{1} = \frac{2v_{0}}{g} tg \: \alpha$.
Положив в первом уравнении (2) $t = t_{1}$, найдем у-составляющую скорости шарика в момент начала второго удара:
$v_{1y}=-v_{0} \sin \alpha$,
откуда следует, что $v_{1y} = v_{0y}$. Уравнениями (2) можно пользоваться и для описания движения шарика между последующими ударами о наклонную плоскость, если начинать отсчитывать время от конца предшествующего удара. Таким образом, все промежутки времени между любыми двумя последующими ударами о наклонную плоскость равны $T=2v_{0} tg \: \alpha/g$. Выделяя целую часть отношения $t_{max}/T$, находим число $n^{\prime}$ промежутков времени $T$, содержащихся в промежутке $t_{max}$:
$n^{\prime}= \left [ \frac{t_{max}}{T} \right ] = \left [ \frac{1}{2} ctg^{2} \alpha \right ]$.
Искомое число $n$ ударов шарика о наклонную плоскость на единицу больше числа $n^{\prime}$:
$n=n^{\prime} +1 = \left [ \frac{1}{2} ctg^{2} \alpha \right ] +1$.
Шарик налетает с горизонтальной скоростью $v_{0}$ на наклонную плоскость с углом при основании $\alpha$. Его удары о плоскость абсолютно упругие. Время удара пренебрежимо мало. Найдите максимальное удаление шарика от нормали к плоскости, проведенной через точку падения, время этого удаления и число соударений с плоскостью.
Решение:
Ось х декартовой системы координат направим вдоль наклонной плоскости вверх, ось у - перпендикулярно к плоскости через точку падения. В момент перед ударом скорость шарика $v_{0}$ ее составляющие на оси х и у :
$v_{0x}=v_{0} \cos \alpha, v_{0y}=v_{0} \sin \alpha$.
При ударе сила нормальной реакции плоскости меняет только у - компоненту скорости. Удар абсолютно упругий, поэтому после удара $v_{0y}^{\prime}= - v_{0y}$, х - компонента не меняется: $ v^{\prime}_{0x}= v_{0x}$. После первого удаpa:
$ v^{\prime}_{0x} = v_{0} \cos \alpha, v^{\prime}_{0y} = v_{0} \sin \alpha $.
После каждого следующего удара х - компонента не меняется, у - компонента только меняет знак.
Скорость шарика $v$ и расстояние $r$ между точками первого и второго ударов:
$\bar{v}=\bar{v_{0}} + \bar{g}t, \bar{r} = v_{0}^{\prime} t + \bar{g}t^{2}/2$.
В проекциях на оси х и у:
$v_{x}=v_{0} \cos \alpha – g \sin \alpha t, x= v_{0} \cos \alpha t – g \sin \alpha t^{2}/2$, (1)
$v_{y}=v_{0} \sin \alpha – g \cos \alpha t, x= v_{0} \sin \alpha t – g \cos \alpha t^{2}/2$, (2)
Время удара пренебрежимо мало, и х-компонента скорости за это время не меняется, поэтому уравнения (1) справедливы не точно между первым и вторым ударами, но и во все время движения и не позволяет использовать уравнения (1) для нахождения максимального удаления $x_{max}$ шарика от оси у и времени $t_{max}$, затрачиваемого на это движение.
В момент времени $t=t_{max}$ составляющая скорости $v_{x}$, обращается в ноль:
$0 = v_{0} \cos \alpha – g \sin \alpha t_{max}$,
откуда
$t_{max}=\frac{v_{0}}{g} ctg \: \alpha$.
Полагая во втором уравнении (1) $t=t_{max}$, получаем
$x_{max}= \frac{1}{2} \frac{v^{2}_{0}}{g} \cos \alpha ctg \: \alpha$.
Найдем промежуток времени $t$ между первым и вторым ударами. Для этого воспользуемся вторым уравнением (2). Поскольку удар о наклонную плоскость происходит в точках с $y = 0$, из второго уравнения (2) находим
$t_{1} = \frac{2v_{0}}{g} tg \: \alpha$.
Положив в первом уравнении (2) $t = t_{1}$, найдем у-составляющую скорости шарика в момент начала второго удара:
$v_{1y}=-v_{0} \sin \alpha$,
откуда следует, что $v_{1y} = v_{0y}$. Уравнениями (2) можно пользоваться и для описания движения шарика между последующими ударами о наклонную плоскость, если начинать отсчитывать время от конца предшествующего удара. Таким образом, все промежутки времени между любыми двумя последующими ударами о наклонную плоскость равны $T=2v_{0} tg \: \alpha/g$. Выделяя целую часть отношения $t_{max}/T$, находим число $n^{\prime}$ промежутков времени $T$, содержащихся в промежутке $t_{max}$:
$n^{\prime}= \left [ \frac{t_{max}}{T} \right ] = \left [ \frac{1}{2} ctg^{2} \alpha \right ]$.
Искомое число $n$ ударов шарика о наклонную плоскость на единицу больше числа $n^{\prime}$:
$n=n^{\prime} +1 = \left [ \frac{1}{2} ctg^{2} \alpha \right ] +1$.
