Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16480
2024-03-22 
Плоская Т - образная конструкция из трех жестко соединенных спиц и трех небольших шариков может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси $O$ (плоскость рисунка перпендикулярна оси $O$). Длина каждой спицы $l$, а масса пренебрежимо мала по сравнению с массой шариков. Определите период малых колебаний конструкции.
Решение:
Потенциальную энергию системы из трех шариков в положении равновесия положим равной нулю. В любой момент времени, когда конструкция отклонена на угол $\alpha$ от своего положения равновесия, потенциальная энергия системы равна
$E_{n} = mgl (1 - \cos \alpha )= 2mgl \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{1}{2} mgl \alpha^{2}$,
а кинетическая энергия
$E_{k} = \frac{3}{2} m^{2} \alpha^{ \prime 2}$.
Здесь $\alpha^{ \prime}$ - производная $\alpha$ по времени, равная угловой скорости вращения. Полная энергия остается постоянной:
$E_{n} + E_{к} = const$.
Подставив сюда выражения для $E_{n}, E_{к}$ и, продифференцировав полученное равенство по времени, имеем после упрощения
$\alpha^{ \prime \prime} + \frac{g}{3l} \alpha =0$.
Это и есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega = \sqrt{ \frac{g}{3l}}$ и периодом $T = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{3l}{g}}$.
Плоская Т - образная конструкция из трех жестко соединенных спиц и трех небольших шариков может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси $O$ (плоскость рисунка перпендикулярна оси $O$). Длина каждой спицы $l$, а масса пренебрежимо мала по сравнению с массой шариков. Определите период малых колебаний конструкции.
Решение:
Потенциальную энергию системы из трех шариков в положении равновесия положим равной нулю. В любой момент времени, когда конструкция отклонена на угол $\alpha$ от своего положения равновесия, потенциальная энергия системы равна
$E_{n} = mgl (1 - \cos \alpha )= 2mgl \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{1}{2} mgl \alpha^{2}$,
а кинетическая энергия
$E_{k} = \frac{3}{2} m^{2} \alpha^{ \prime 2}$.
Здесь $\alpha^{ \prime}$ - производная $\alpha$ по времени, равная угловой скорости вращения. Полная энергия остается постоянной:
$E_{n} + E_{к} = const$.
Подставив сюда выражения для $E_{n}, E_{к}$ и, продифференцировав полученное равенство по времени, имеем после упрощения
$\alpha^{ \prime \prime} + \frac{g}{3l} \alpha =0$.
Это и есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega = \sqrt{ \frac{g}{3l}}$ и периодом $T = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{3l}{g}}$.
