Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16470
2024-03-22 
Маленький заряженный шарик массы $m$ подвешен на нити длины $l$ к безграничной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Чему равен заряд шарика, если известен период $T$ его колебаний относительно положения равновесия? Амплитуда колебаний невелика. Нить нерастяжима и невесома.
Решение:
Пусть в момент, изображенный на рисунке, шарик находится в положении равновесия. Заменим силы $m \vec{g}$ и $\vec{F}_{эл}$, действующие на шарик, их равнодействующей $m \vec{g}_{эфф}$. Замечательно, что при отклонениях шарика от положения равновесия $m \vec{g}_{эфф}$ не меняется, т.к. не меняется ни $m \vec{g}$, ни $\vec{F}_{эл} = \frac{ \sigma q}{2 \epsilon_{0}} \vec{n}_{0}$ ($\vec{n}_{0}$ - единичный вектор, нормальный к плоскости). Т.о., в этой задаче $\vec{g}_{эфф}$ заменяет величину в случае обычного математического маятника и можем записать:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g_{эфф}} }$. (1)
Найдем $\vec{g}_{эфф}$:
$g_{эфф} = \frac{mg_{эфф}}{m} = \frac{ \sqrt{m^{2}g^{2} + F_{эл}^{2}} }{m} = \sqrt{ g^{2} + \frac{ \sigma^{2}q^{2} }{4 \epsilon_{0}^{2}m^{2} } }$.
Запишем $T^{2}$ из (1), подставляя значение $g_{эфф}$:
$T^{2} = 4 \pi^{2} \frac{l}{ \sqrt{g^{2} + \frac{ \sigma^{2}q^{2}}{4 \epsilon_{0}^{2}m^{2}}}}$, откуда находим
$q = \frac{2 \epsilon_{0}m}{ \sigma T^{2}} \sqrt{16 \pi^{4}l^{2} - g^{2}T^{4}}$.
Маленький заряженный шарик массы $m$ подвешен на нити длины $l$ к безграничной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Чему равен заряд шарика, если известен период $T$ его колебаний относительно положения равновесия? Амплитуда колебаний невелика. Нить нерастяжима и невесома.
Решение:
Пусть в момент, изображенный на рисунке, шарик находится в положении равновесия. Заменим силы $m \vec{g}$ и $\vec{F}_{эл}$, действующие на шарик, их равнодействующей $m \vec{g}_{эфф}$. Замечательно, что при отклонениях шарика от положения равновесия $m \vec{g}_{эфф}$ не меняется, т.к. не меняется ни $m \vec{g}$, ни $\vec{F}_{эл} = \frac{ \sigma q}{2 \epsilon_{0}} \vec{n}_{0}$ ($\vec{n}_{0}$ - единичный вектор, нормальный к плоскости). Т.о., в этой задаче $\vec{g}_{эфф}$ заменяет величину в случае обычного математического маятника и можем записать:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g_{эфф}} }$. (1)
Найдем $\vec{g}_{эфф}$:
$g_{эфф} = \frac{mg_{эфф}}{m} = \frac{ \sqrt{m^{2}g^{2} + F_{эл}^{2}} }{m} = \sqrt{ g^{2} + \frac{ \sigma^{2}q^{2} }{4 \epsilon_{0}^{2}m^{2} } }$.
Запишем $T^{2}$ из (1), подставляя значение $g_{эфф}$:
$T^{2} = 4 \pi^{2} \frac{l}{ \sqrt{g^{2} + \frac{ \sigma^{2}q^{2}}{4 \epsilon_{0}^{2}m^{2}}}}$, откуда находим
$q = \frac{2 \epsilon_{0}m}{ \sigma T^{2}} \sqrt{16 \pi^{4}l^{2} - g^{2}T^{4}}$.
