Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16444
2024-03-16 
Определить число изображений предмета, помещенного между двумя плоскими зеркалами, образующими друг с другом угол $\phi$, в предположении, что число $m = \frac{2 \pi}{ \phi}$ - целое.
Решение:
Положение (точечного) объекта $O$ можно задать углом $\alpha$, который радиус-вектор $CO$ образует с поверхность зеркала 1, или угол $\beta$, который тот же радиус-вектор образует с поверхностью с поверхностью зеркала 2.
Пусть $\alpha_{0}$ и $\beta_{0}$ характеризуют положение объекта $O$. Легко видеть, что для изображений 02, 012, 0212, 01212,... угол $\alpha$ имеет следующий ряд значений:
$\alpha = 2 \phi - \alpha_{0}; 2 \phi + \alpha_{0}; 4 \phi - \alpha_{0}; 4 \phi + \alpha_{0}; \cdots$
Этот ряд обрывается на изображении, которое первым оказывается со стороны задней поверхности зеркала 1, так как в этом случае лучи от этого изображения уже не смогут отразиться от зеркала 1. Аналогично, положения изображений 01, 021,0121, 02121,... определяются углами
$\beta = 2 \phi - \beta_{0}; 2 \phi + \beta_{0}; 4 \phi - \beta_{0}; 4 \phi + \beta_{0}; \cdots$,
причем ряд обрывается на изображении, которое первым указывается со стороны задней поверхности зеркала 2. Дальнейший ход решения поясним на двух примерах.
Пример 1. $m = 5$ ( $\phi = \frac{2 \pi}{5} рад = 72^{ \circ}$), $\alpha_{0} = 22^{ \circ} ( \beta = 50^{ \circ})$. Для верхнего ряда изображений получаем $\alpha = 122 , 166, 266^{ \circ}$; для нижнего $\beta = 94, 194^{ \circ}$. Углы $\alpha$ и $\beta$ связаны соотношением $\alpha = 2 \pi + \phi - \beta$, или в рассматриваемом случае $\alpha = 432 - \beta$. С помощью этого соотношения находим для нижнего ряда $\alpha = 338,238^{ \circ}$. Следовательно, в верхнем и нижнем рядах нет совпадающих изображений. Всего изображений - пять.
Пример 2. $m = 6 (\phi = 60^{ \circ} ), \alpha_{0} = 20^{ \circ} ( \beta_{0} = 40^{ \circ})$. Для верхнего ряда изображений $\alpha = 100, 140, 220^{ \circ}$; для нижнего $\beta = 80, 160, 200^{ \circ} ( \alpha = 220^{ \circ})$. последние изображения в этих рядах совпадают, так что получается всего пять изображений.
Вообще, если $m$ - нечетное, то число изображений равно $m$. Если же $m$ - четное, то число изображений равно $m -1$. Изложенный метод пригоден и для случая, когда $m$ не есть целое число.
Определить число изображений предмета, помещенного между двумя плоскими зеркалами, образующими друг с другом угол $\phi$, в предположении, что число $m = \frac{2 \pi}{ \phi}$ - целое.
Решение:
Положение (точечного) объекта $O$ можно задать углом $\alpha$, который радиус-вектор $CO$ образует с поверхность зеркала 1, или угол $\beta$, который тот же радиус-вектор образует с поверхностью с поверхностью зеркала 2.
Пусть $\alpha_{0}$ и $\beta_{0}$ характеризуют положение объекта $O$. Легко видеть, что для изображений 02, 012, 0212, 01212,... угол $\alpha$ имеет следующий ряд значений:
$\alpha = 2 \phi - \alpha_{0}; 2 \phi + \alpha_{0}; 4 \phi - \alpha_{0}; 4 \phi + \alpha_{0}; \cdots$
Этот ряд обрывается на изображении, которое первым оказывается со стороны задней поверхности зеркала 1, так как в этом случае лучи от этого изображения уже не смогут отразиться от зеркала 1. Аналогично, положения изображений 01, 021,0121, 02121,... определяются углами
$\beta = 2 \phi - \beta_{0}; 2 \phi + \beta_{0}; 4 \phi - \beta_{0}; 4 \phi + \beta_{0}; \cdots$,
причем ряд обрывается на изображении, которое первым указывается со стороны задней поверхности зеркала 2. Дальнейший ход решения поясним на двух примерах.
Пример 1. $m = 5$ ( $\phi = \frac{2 \pi}{5} рад = 72^{ \circ}$), $\alpha_{0} = 22^{ \circ} ( \beta = 50^{ \circ})$. Для верхнего ряда изображений получаем $\alpha = 122 , 166, 266^{ \circ}$; для нижнего $\beta = 94, 194^{ \circ}$. Углы $\alpha$ и $\beta$ связаны соотношением $\alpha = 2 \pi + \phi - \beta$, или в рассматриваемом случае $\alpha = 432 - \beta$. С помощью этого соотношения находим для нижнего ряда $\alpha = 338,238^{ \circ}$. Следовательно, в верхнем и нижнем рядах нет совпадающих изображений. Всего изображений - пять.
Пример 2. $m = 6 (\phi = 60^{ \circ} ), \alpha_{0} = 20^{ \circ} ( \beta_{0} = 40^{ \circ})$. Для верхнего ряда изображений $\alpha = 100, 140, 220^{ \circ}$; для нижнего $\beta = 80, 160, 200^{ \circ} ( \alpha = 220^{ \circ})$. последние изображения в этих рядах совпадают, так что получается всего пять изображений.
Вообще, если $m$ - нечетное, то число изображений равно $m$. Если же $m$ - четное, то число изображений равно $m -1$. Изложенный метод пригоден и для случая, когда $m$ не есть целое число.
