Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16441
2024-03-16 
Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$, а по другую сторону - вакуум. Начальная температура газа $T_{0}$. Поршень отпустили, и газ заполнил весь цилиндр. Затем поршень медленно переместили в начальное положение. Найти приращение внутренней энергии и энтропии газа в результате обоих процессов.
Решение:
Весь процесс расширения и сжатия газа по отдельности.
1-2: процесс свободного расширения газа. Так как $Q_{12} = 0$ (теплоизолированный цилиндр) и $A_{12} = 0$ (газ расширяется свободно). Тогда из первого начала термодинамики:
$\Delta U_{12} = 0$, т.е. $\Delta T_{12} = 0$ (1)
Т.е. процесс 1-2 является изотермическим:
$\begin{cases} p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2} \\ p_{1} = p_{0}, V = V_{0}, V_{2} = 2V_{0} \end{cases} \Rightarrow p_{2} = \frac{p_{0}}{2}$ (2)
$2 - 1^{ \prime}$: процесс адиабатического сжатия газа.
$Q_{21^{ \prime}} = \Delta U_{21^{ \prime}} + A_{21^{ \prime}}$. (3)
$Q_{21^{ \prime}} = 0$ (цилиндр теплоизолирован). (4)
Из (3) и (4):
$\Delta U_{21^{ \prime}} = - A_{21^{ \prime}}$. (5)
$A_{21^{ \prime}} = \int_{V_{2}}^{V_{1^{ \prime}}} pdV = \begin{vmatrix} V_{2} = 2V_{0} \\ V_{1^{ \prime}} = V_{0} \end{vmatrix} = \int_{2V_{0}}^{V_{0}} pdV$. (6)
$\begin{cases} p_{2}V_{2}^{ \gamma} = pV^{ \gamma} \\ p_{2} = \frac{p_{0}}{2}, V_{2} = 2V_{0} \end{cases} \Rightarrow p(V) = 2^{ \gamma - 1} p_{0} V_{0}^{ \gamma} \frac{1}{V^{ \gamma}}$. (7)
Тогда
$A_{21^{ \prime}} = 2^{ \gamma - 1} V_{0}^{ \gamma} p_{0} \int_{2V_{0}}^{V_{0}} \frac{dV}{V^{ \gamma}} = \frac{2^{ \gamma - 1}p_{0}V_{0}^{ \gamma}}{1 - \gamma } \left [ \frac{1}{V_{0}^{ \gamma - 1}} - \frac{1}{(2V_{0})^{ \gamma - 1}} \right ] = \frac{p_{0}V_{0}}{1 - \gamma} (2^{ \gamma - 1} - 1) = |p_{0}V_{0} = RT_{0}| = \frac{RT_{0} (2^{ \gamma -1 } - 1)}{1 - \gamma }$. (8)
Подставляя (8) в (5) получим $\Delta U_{21^{ \prime}}$. Полное изменение внутренней энергии газа:
$\Delta U = \Delta U_{12} + \Delta U_{21^{ \prime}} = \frac{RT_{0}}{ \gamma - 1} (2^{ \gamma -1 } - 1)$.
Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$, а по другую сторону - вакуум. Начальная температура газа $T_{0}$. Поршень отпустили, и газ заполнил весь цилиндр. Затем поршень медленно переместили в начальное положение. Найти приращение внутренней энергии и энтропии газа в результате обоих процессов.
Решение:
Весь процесс расширения и сжатия газа по отдельности.
1-2: процесс свободного расширения газа. Так как $Q_{12} = 0$ (теплоизолированный цилиндр) и $A_{12} = 0$ (газ расширяется свободно). Тогда из первого начала термодинамики:
$\Delta U_{12} = 0$, т.е. $\Delta T_{12} = 0$ (1)
Т.е. процесс 1-2 является изотермическим:
$\begin{cases} p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2} \\ p_{1} = p_{0}, V = V_{0}, V_{2} = 2V_{0} \end{cases} \Rightarrow p_{2} = \frac{p_{0}}{2}$ (2)
$2 - 1^{ \prime}$: процесс адиабатического сжатия газа.
$Q_{21^{ \prime}} = \Delta U_{21^{ \prime}} + A_{21^{ \prime}}$. (3)
$Q_{21^{ \prime}} = 0$ (цилиндр теплоизолирован). (4)
Из (3) и (4):
$\Delta U_{21^{ \prime}} = - A_{21^{ \prime}}$. (5)
$A_{21^{ \prime}} = \int_{V_{2}}^{V_{1^{ \prime}}} pdV = \begin{vmatrix} V_{2} = 2V_{0} \\ V_{1^{ \prime}} = V_{0} \end{vmatrix} = \int_{2V_{0}}^{V_{0}} pdV$. (6)
$\begin{cases} p_{2}V_{2}^{ \gamma} = pV^{ \gamma} \\ p_{2} = \frac{p_{0}}{2}, V_{2} = 2V_{0} \end{cases} \Rightarrow p(V) = 2^{ \gamma - 1} p_{0} V_{0}^{ \gamma} \frac{1}{V^{ \gamma}}$. (7)
Тогда
$A_{21^{ \prime}} = 2^{ \gamma - 1} V_{0}^{ \gamma} p_{0} \int_{2V_{0}}^{V_{0}} \frac{dV}{V^{ \gamma}} = \frac{2^{ \gamma - 1}p_{0}V_{0}^{ \gamma}}{1 - \gamma } \left [ \frac{1}{V_{0}^{ \gamma - 1}} - \frac{1}{(2V_{0})^{ \gamma - 1}} \right ] = \frac{p_{0}V_{0}}{1 - \gamma} (2^{ \gamma - 1} - 1) = |p_{0}V_{0} = RT_{0}| = \frac{RT_{0} (2^{ \gamma -1 } - 1)}{1 - \gamma }$. (8)
Подставляя (8) в (5) получим $\Delta U_{21^{ \prime}}$. Полное изменение внутренней энергии газа:
$\Delta U = \Delta U_{12} + \Delta U_{21^{ \prime}} = \frac{RT_{0}}{ \gamma - 1} (2^{ \gamma -1 } - 1)$.
