ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
Найти к.п.д. цикла, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если в пределах цикла давление изменяется в $n$ раз. Рабочее вещество - идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$.


Решение:



По определению к.п.д.:

$\eta = 1 - \frac{Q_{2}^{ \prime}}{Q_{1}}$, (1)

где $Q_{2}^{ \prime}$ - отдаваемое идеальным газом тепло, $Q_{1}$ - получаемое идеальным газом тепло.

Идеальный газ получает тепло только на участке адиабатического расширения (процесс 1-2 на рисунке)

$Q_{1} = | Q_{12} |$; (2)

Рассмотрим процесс 1-2:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}$. (3)

Изменение внутренней энергии на участке 1-2:

$\Delta U_{12} = \frac{ \nu R (T_{2} - T_{1})}{ \gamma^{-1}}$.

Уравнение состояния идеального газа для состояний 1 и 2:

$p_{12}V_{1} = \nu RT_{1}$,
$p_{12}V_{2} = \nu RT_{2}$.

Отсюда:

$\nu R(T_{2} - T_{1}) = p_{12}(V_{2} - V_{1})$.

Тогда

$\Delta U_{12} = \frac{p_{12}(V_{2} - V_{1})}{ \gamma - 1}$ (4)
$A_{12} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} pdV = p_{12}(V_{2} - V_{1})$. (5)

Подставляя (5) и (4) в (3), получим

$Q_{12} = \frac{ \gamma p_{12} (V_{2} - V_{1})}{ \gamma -1} = Q_{1}$. (6)

Идеальный газ отдает тепло на участке 3-4:

$Q_{2}^{ \prime} = |Q_{34}| = \frac{ \gamma p_{34} (V_{3} - V_{4})}{ \gamma - 1}$. (7)

Уравнения (6) и (7) подставим в (1). Получим

$\eta = 1 - \frac{p_{34}}{p_{12}} \frac{(V_{3} - V_{4})}{(V_{2} - V_{1})}$.

Процесс 2-3:

$p_{12}V_{2}^{ \gamma} = p_{34} V_{3}^{ \gamma} \Rightarrow V_{3} = V_{2} n^{ \frac{1}{ \gamma} }$. (10)

Процесс 4-1:

$p_{34} V_{4}^{ \gamma} = p_{12}V_{1}^{ \gamma} \Rightarrow V_{4} = V_{1} n^{ \frac{1}{ \gamma} }$. (11)

Уравнения (9) - (11) подставим в (8) и получим в итоге:

$n = 1 - n^{ \frac{1}{ \gamma} - 1 }$.