Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16438
2024-03-16 
Однородный шар имеет массу $M$ и радиус $R$. Найти давление $p$ внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния $r$ от его центра. Оценить $p$ в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром. Принять плотность Земли $\rho = 5,5 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, ее радиус $R = 6,4 \cdot 10^{2} км$.
Решение:
Разобьем твердую сферу на тонкие сферические слои и рассмотрим слой толщиной $dr$ на дистанции $r$ от центра шара. Каждый сферический слой давит на слои внутри него. Рассмотренный слой действует на ту часть сферы, которая лежит внутри него. Для рассмотренного слоя имеем:
$4 \pi r^{2} d \rho = dF$, (1)
где $dF = \frac{ \gamma m dm}{r^{2}}, m = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho; dm = \rho dV = S \rho dr = 4 \pi r^{2} \rho dr$. Тогда
$4 \pi r^{2} dp = \frac{ \gamma \left ( \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \right ) \left ( 4 \pi r^{2} \rho dr \right ) }{r^{2}}$;
откуда:
$dp = \frac{4}{3} \pi \gamma \rho^{2} rdr$. (2)
Итак,
$p = \int_{p(r)}^{p(R)} dp = \frac{2 \pi }{3} \gamma \rho^{2} (R^{2} - r^{2})$. (3)
Видно, что при $r \rightarrow R: p \rightarrow 0$. Т.к. $\rho = \frac{M}{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}$, то
$p(r) = \frac{2 \pi}{3} \gamma \frac{M^{2}}{ \left ( \frac{4}{3} \pi R^{3} \right )^{2}} (R^{2} - r^{2}) = \frac{3}{8} \frac{ \gamma M^{2}}{ \pi R^{4}} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{R^{2}} \right )$. (4)
В центре сферы:
$p(r = 0) = \frac{3}{8} \frac{ \gamma M^{2}}{ \pi R^{4}} \approx 1,71 \cdot 10^{11} Па \approx 1,69 \cdot 10^{6} атм$.
Однородный шар имеет массу $M$ и радиус $R$. Найти давление $p$ внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния $r$ от его центра. Оценить $p$ в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром. Принять плотность Земли $\rho = 5,5 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, ее радиус $R = 6,4 \cdot 10^{2} км$.
Решение:
Разобьем твердую сферу на тонкие сферические слои и рассмотрим слой толщиной $dr$ на дистанции $r$ от центра шара. Каждый сферический слой давит на слои внутри него. Рассмотренный слой действует на ту часть сферы, которая лежит внутри него. Для рассмотренного слоя имеем:
$4 \pi r^{2} d \rho = dF$, (1)
где $dF = \frac{ \gamma m dm}{r^{2}}, m = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho; dm = \rho dV = S \rho dr = 4 \pi r^{2} \rho dr$. Тогда
$4 \pi r^{2} dp = \frac{ \gamma \left ( \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \right ) \left ( 4 \pi r^{2} \rho dr \right ) }{r^{2}}$;
откуда:
$dp = \frac{4}{3} \pi \gamma \rho^{2} rdr$. (2)
Итак,
$p = \int_{p(r)}^{p(R)} dp = \frac{2 \pi }{3} \gamma \rho^{2} (R^{2} - r^{2})$. (3)
Видно, что при $r \rightarrow R: p \rightarrow 0$. Т.к. $\rho = \frac{M}{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}$, то
$p(r) = \frac{2 \pi}{3} \gamma \frac{M^{2}}{ \left ( \frac{4}{3} \pi R^{3} \right )^{2}} (R^{2} - r^{2}) = \frac{3}{8} \frac{ \gamma M^{2}}{ \pi R^{4}} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{R^{2}} \right )$. (4)
В центре сферы:
$p(r = 0) = \frac{3}{8} \frac{ \gamma M^{2}}{ \pi R^{4}} \approx 1,71 \cdot 10^{11} Па \approx 1,69 \cdot 10^{6} атм$.
