ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
К концу висящей вертикально пружины, массой которой можно пренебречь, подвешивают груз массой $m$. Затем длину уже растянутой пружины делят на три равные части и в полученных таким образом точках подвешивают еще два груза массой $3m$ и $2m$, считая от точки крепления пружины (см. рис.). Определить длину пружины в этом случае. Коэффициент жесткости пружины равен $k$, а ее длина в недеформированном состоянии равна $l_{0}$.



Решение:


Допустим, что выполняется закон Гука:

$\sigma = El$, (1)

где $\epsilon = \frac{ \Delta l}{l_{0}}$ - относительное удлинение; $E$ - модуль Юнга;

$\sigma = \frac{F}{s}$ (2)

- напряжение, вызванное силой $F$. Из (1) и (2) следует

$F = \frac{ES}{l_{0}} \Delta l$. (3)

С другой стороны

$F = k \Delta l$. (4)

Из (3) и (4): $k = \frac{ES}{l_{0}}$ - коэффициент упругости (жесткости). Получили, что $k \sim \frac{1}{l_{0}}$. Имеем три пружины. Деформации малы, поэтому можно считать, что длина недеформированной одной пружины равна $\frac{1}{3} l_{0}$. Тогда коэффициент жесткости - $3k$.


Запишем второй закон Ньютона для каждой из пружин. $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ - модули сил упругости каждой из пружин; $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \Delta x_{3}$ - их деформации. Имеем,
что:

$\begin{cases} T_{1} - mg = 0, \\ T_{2} - T_{1} - 2mg = 0, \\ T_{3} - T_{2} - 3mg = 0. \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Delta x_{1} = \frac{mg}{3k}, \\ \Delta x_{2} = \frac{mg}{k}, \\ \Delta x_{3} = \frac{2mg}{k}. \end{cases}$

Полная деформация пружины:

$\Delta x = \Delta x_{1} + \Delta x_{2} + \Delta x_{3} = \frac{10 mg}{3k}$,

а длина пружины:

$l = l_{0} + \Delta x = l_{0} + \frac{10mg}{3k}$.