Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16435
2024-03-16 
Маленький шарик, подвешенный на тонкой невесомой нити, щелчком приводят в движение, и он, сделав ровно один оборот по окружности, останавливается точно в нижней точке траектории. Известно, что сила сопротивления воздуха, действующая на шарик во время его движения, постоянна по модулю. Какое наибольшее число таких шариков можно подвесить к концу этой нити, чтобы она при этом наверняка не порвалась?
Указание: приблизительные значения наименьших положительных корней уравнения $x \sin x + \cos x = \frac{2}{3}$ равны 2,51405, 6,22988, 9,24528 и 12, 5398.
Решение:
Обозначим массу шарика $m$, ускорение свободного падения $g$, длину нити $l$, модуль силы сопротивления воздуха $f$. К моменту, когда нить повернется на угол $\phi$, кинетическая энергия шарика будет равна $\frac{mv^{2}}{2}$, где $v$ - его скорость, потенциальная энергия будет равна - $mgl \cos \phi$ (за нулевой уровень взята точка подвеса), а сила сопротивления совершит работу - $fl \phi$. Следовательно,
$\frac{mv^{2}}{2} - mgl \cos \phi - E - fl \phi$,
где $E$ - некоторая константа. Согласно условию, при $\phi = 2 \pi$ выполняется $v^{2} = 0$, откуда
$E = (2 \pi f - mg)l$
и, соответственно,
$\frac{mv^{2}}{2} = mgl \cos \phi + (2 \pi f - mg)l - fl \phi$.
Второй закон Ньютона в проекции на ось, содержащую нить, запишется в виде
$T - mg \cos \phi = \frac{mv^{2}}{l}$,
тле $T$ - сила натяжения нити, откуда
$T = 2f(2 \pi - \phi ) + mg (3 \cos \phi - 2 )$.
Поскольку по условию траектория шарика представляет собой окружность, при всех значениях $\phi$ на отрезке $[0; 2 \pi ]$ имеет место $T > 0$, или
$f > \frac{1}{2} mgk (2 \pi - \phi)$,
где введено обозначение
$k( \alpha ) = \frac{2-3 \cos \alpha}{ \alpha }$.
Поскольку
$k^{ \prime} ( \alpha ) = \frac{3}{ \alpha^{2}} \left ( \alpha \sin \alpha + \cos \alpha - \frac{2}{3} \right )$,
то, согласно указанию в условии задачи, единственным корнем уравнения $k^{ \prime} ( \alpha ) = 0$ на отрезке $[0; 2 \pi ]$ является $\alpha_{0} =2,51405$. Следовательно, наибольшим значением $k( \alpha )$ на $[0; 2 \pi ]$ есть
$k( \alpha_{0} ) = \frac{2 - 3 \cos \alpha_{0}}{ \alpha_{0}} = 3 \sin \alpha_{0}$,
а потому
$f > \frac{3}{2} mg \sin \alpha_{0}$.
Очевидно, наибольшее значение $T = T_{max}$ достигается при $\phi = 0$ (что соответствует начальному моменту), следовательно,
$T_{max} = 4 \pi f + mg > mg(1 + 6 \pi \sin \alpha_{0} ) \approx 12,07mg$.
Таким образом, нить наверняка должна выдержать 12 шариков.
Маленький шарик, подвешенный на тонкой невесомой нити, щелчком приводят в движение, и он, сделав ровно один оборот по окружности, останавливается точно в нижней точке траектории. Известно, что сила сопротивления воздуха, действующая на шарик во время его движения, постоянна по модулю. Какое наибольшее число таких шариков можно подвесить к концу этой нити, чтобы она при этом наверняка не порвалась?
Указание: приблизительные значения наименьших положительных корней уравнения $x \sin x + \cos x = \frac{2}{3}$ равны 2,51405, 6,22988, 9,24528 и 12, 5398.
Решение:
Обозначим массу шарика $m$, ускорение свободного падения $g$, длину нити $l$, модуль силы сопротивления воздуха $f$. К моменту, когда нить повернется на угол $\phi$, кинетическая энергия шарика будет равна $\frac{mv^{2}}{2}$, где $v$ - его скорость, потенциальная энергия будет равна - $mgl \cos \phi$ (за нулевой уровень взята точка подвеса), а сила сопротивления совершит работу - $fl \phi$. Следовательно,
$\frac{mv^{2}}{2} - mgl \cos \phi - E - fl \phi$,
где $E$ - некоторая константа. Согласно условию, при $\phi = 2 \pi$ выполняется $v^{2} = 0$, откуда
$E = (2 \pi f - mg)l$
и, соответственно,
$\frac{mv^{2}}{2} = mgl \cos \phi + (2 \pi f - mg)l - fl \phi$.
Второй закон Ньютона в проекции на ось, содержащую нить, запишется в виде
$T - mg \cos \phi = \frac{mv^{2}}{l}$,
тле $T$ - сила натяжения нити, откуда
$T = 2f(2 \pi - \phi ) + mg (3 \cos \phi - 2 )$.
Поскольку по условию траектория шарика представляет собой окружность, при всех значениях $\phi$ на отрезке $[0; 2 \pi ]$ имеет место $T > 0$, или
$f > \frac{1}{2} mgk (2 \pi - \phi)$,
где введено обозначение
$k( \alpha ) = \frac{2-3 \cos \alpha}{ \alpha }$.
Поскольку
$k^{ \prime} ( \alpha ) = \frac{3}{ \alpha^{2}} \left ( \alpha \sin \alpha + \cos \alpha - \frac{2}{3} \right )$,
то, согласно указанию в условии задачи, единственным корнем уравнения $k^{ \prime} ( \alpha ) = 0$ на отрезке $[0; 2 \pi ]$ является $\alpha_{0} =2,51405$. Следовательно, наибольшим значением $k( \alpha )$ на $[0; 2 \pi ]$ есть
$k( \alpha_{0} ) = \frac{2 - 3 \cos \alpha_{0}}{ \alpha_{0}} = 3 \sin \alpha_{0}$,
а потому
$f > \frac{3}{2} mg \sin \alpha_{0}$.
Очевидно, наибольшее значение $T = T_{max}$ достигается при $\phi = 0$ (что соответствует начальному моменту), следовательно,
$T_{max} = 4 \pi f + mg > mg(1 + 6 \pi \sin \alpha_{0} ) \approx 12,07mg$.
Таким образом, нить наверняка должна выдержать 12 шариков.
