Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16430
2024-03-16 
Найдите период колебаний математического маятника массой $m$ и зарядом $q$, подвешенного на нити длиной $l$, если точно под положением равновесия на расстоянии $h$ находится заряд $Q$. Амплитуда исследуемых колебаний много меньше $l, h$.
Решение:
Чтобы найти период или частоту колебаний, необходимо найти возвращающую силу в виде:
$F = kx$. (1)
Пусть заряды $q$ и $Q$ - разноименные, следовательно: они притягиваются.
По второму закону Ньютона:
$m \vec{g} + \vec{T} + \vec{F}_{k} = \vec{F}_{возвр.}$ (2)
Найдем проекции векторов выражения (2) на оси координат:
$OY: T \cos \alpha = mg + F_{k} \cos \beta$;
$OX: T \sin \alpha + F_{k} \sin \beta = F_{возвр.}$.
Откуда:
$F = T \frac{x}{l} + F_{k} \frac{x}{ \sqrt{h^{2} + x^{2}}} = x \left ( \frac{mg + F_{k} \cos \beta}{l \cos \alpha} + \frac{F_{k}}{ \sqrt{h^{2} + x^{2}}} \right )$.
Учитывая малость колебаний: $x \ll l$, т.е. $\cos \alpha \approx \cos \beta \approx 1$, получим:
$F = x \left ( \frac{mg}{l} + F_{k} \left ( \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \right ) \right )$, (3)
где
$F_{k} = k \frac{qQ}{h^{2} + x^{2}} \approx k \frac{qQ}{h^{2}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{h^{2}}$.
Из уравнений (1) и (3) следует, что:
$k = \frac{mg}{l} + F_{k} \left ( \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \right )$. (4)
Период колебаний маятника:
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$. (5)
Из уравнений (4) и (5) видно, что при разноименных $q$ и $Q$ период колебаний уменьшается (возвращающая сила растет), при одноименных - увеличивается. Колебания во втором случае, при $\frac{mg}{l} < F_{k} \left ( \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \right )$, невозможны, так как шарик при отклонении от положения равновесия «зависнет».
Окончательно, получим:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \frac{mg}{l} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{h^{2}} \left ( \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \right ) }}$.
Найдите период колебаний математического маятника массой $m$ и зарядом $q$, подвешенного на нити длиной $l$, если точно под положением равновесия на расстоянии $h$ находится заряд $Q$. Амплитуда исследуемых колебаний много меньше $l, h$.
Решение:
Чтобы найти период или частоту колебаний, необходимо найти возвращающую силу в виде:
$F = kx$. (1)
Пусть заряды $q$ и $Q$ - разноименные, следовательно: они притягиваются.
По второму закону Ньютона:
$m \vec{g} + \vec{T} + \vec{F}_{k} = \vec{F}_{возвр.}$ (2)
Найдем проекции векторов выражения (2) на оси координат:
$OY: T \cos \alpha = mg + F_{k} \cos \beta$;
$OX: T \sin \alpha + F_{k} \sin \beta = F_{возвр.}$.
Откуда:
$F = T \frac{x}{l} + F_{k} \frac{x}{ \sqrt{h^{2} + x^{2}}} = x \left ( \frac{mg + F_{k} \cos \beta}{l \cos \alpha} + \frac{F_{k}}{ \sqrt{h^{2} + x^{2}}} \right )$.
Учитывая малость колебаний: $x \ll l$, т.е. $\cos \alpha \approx \cos \beta \approx 1$, получим:
$F = x \left ( \frac{mg}{l} + F_{k} \left ( \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \right ) \right )$, (3)
где
$F_{k} = k \frac{qQ}{h^{2} + x^{2}} \approx k \frac{qQ}{h^{2}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{h^{2}}$.
Из уравнений (1) и (3) следует, что:
$k = \frac{mg}{l} + F_{k} \left ( \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \right )$. (4)
Период колебаний маятника:
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$. (5)
Из уравнений (4) и (5) видно, что при разноименных $q$ и $Q$ период колебаний уменьшается (возвращающая сила растет), при одноименных - увеличивается. Колебания во втором случае, при $\frac{mg}{l} < F_{k} \left ( \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \right )$, невозможны, так как шарик при отклонении от положения равновесия «зависнет».
Окончательно, получим:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \frac{mg}{l} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{h^{2}} \left ( \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \right ) }}$.
