ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
Нижний конец вертикальной трубки длиной $2L$ запаян, а верхний - открыт в атмосферу. В нижней половине трубки находится газ при температуре $T_{0}$, а верхняя заполнена ртутью. Трубку начинают медленно нагревать. До какой минимальной температуры нужно нагреть газ в трубке, чтобы он вытеснил всю ртуть? Внешнее давление $p_{0}$ в миллиметрах ртутного столба равно $L$. Изобразите схематически изменение теплоемкости газа в этом процессе.


Решение:



Имеем, что:

$\frac{pV}{T} = const$.

Откуда получим:

$\frac{(p_{0} + \rho gh)h}{T_{0}} = \frac{p(h + x)}{T}$,

где $p = p_{0} + \rho g(h-x)$. По условию задачи $p_{0} = \rho gh$. Тогда:

$T = T_{0} \left ( 1 - \frac{x}{2h} \right ) \left ( 1 + \frac{x}{h} \right )$.



Видно, что, если $x = h$, то $T = T_{0}$. Отсюда следует, что температура меняется немонотонно (сначала растет, потом убывает). $T = T(x)$ - квадратичная функция. Найдем экстремум этой функции:

$T^{ \prime} = 0$ при $x = \frac{h}{2} \Rightarrow T_{max} = T \left ( \frac{h}{2} \right ) = \frac{9}{8} T_{0}$.

Найдем теплоемкость газа:

$C = \frac{dQ}{dt} = \frac{dU + pdV}{dT}$. (1)

Учтем, что:

$p(x) = p_{0} \left ( 2 - \frac{x}{h} \right )$; (2)
$dV = Sdx = \frac{V_{0}}{h} dx$; (3)
$dT = T^{ \prime}{dx}$; (4)
$dU = \nu C_{v}dT = \frac{2p_{0}V_{0}}{RT_{0}} \frac{5}{2} RdT$. (5)

Подставим выражения (2) - (5) в (1), тогда получим:

$C = 3 \frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}} \frac{3 - 4 \frac{x}{h}}{1 - 2 \frac{x}{h}}$.