Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16426
2024-03-16 
Ракета запущена с поверхности Земли вертикально вверх с первой космической скоростью и возвращается на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находилась в полете? Радиус Земли $R$=6400 км.
Примечание. Площадь эллипса с полуосями $a$ и $b$ равна $S = \pi ab$.
Решение:
Траектория ракеты представляет собой часть очень вытянутого эллипса, в одном из фокусов которого находится центр Земли (см. рисунок). Скорость ракеты в верхней точке $D$ траектории почти равна нулю.
Согласно закону сохранения энергии,
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} - G \frac{Mm}{R} \approx - G \frac{Mm}{2b}$. (1)
Здесь $M$ - масса Земли, $m$ - масса ракеты, $v_{0} = \sqrt{ \frac{GM}{R}}$ - начальная скорость ракеты (первая космическая скорость); $ - G \frac{Mm}{R}$ и $- G \frac{Mm}{2b}$ - потенциальная энергия ракеты у поверхности Земли (при запуске) и в верхней точке траектории. Из (1) найдем большую полуось эллипса: $b \approx R$.
Из третьего закона Кеплера (квадраты периодов обращения по эллиптическим траекториям относятся как кубы больших полуосей эллипсов) следует, что полное время $T_{э}$ движения ракеты по всему эллипсу было бы равно периоду $T_{0}$ обращения спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли, то есть
$T_{э} = T_{0} = \frac{2 \pi R}{ \sqrt{ \frac{GM}{R} }} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Из второго закона Кеплера (радиус-вектор, соединяющий тело, движущееся под действием силы тяготения по замкнутой орбите, с центром притяжения, за равные промежутки времени заметает равные площади) следует, что отношение времени заметает равные площади) следует, что отношение времени движения $T$ по половине эллипса (участок $BDC$) к полному периоду $T_{э}$ равно отношению площади заштрихованной на рисунке фигуры $OBDC$ к полной площади эллипса:
$\frac{T}{T_{э}} = \frac{ \frac{1}{2} \pi ab + ab}{ \pi ab}$.
Отсюда находим время полета $T$:
$T = T_{э} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \pi} \right ) = ( \pi + 2) \sqrt{ \frac{R}{g} } \approx 1 ч. 9 мин.$
Ракета запущена с поверхности Земли вертикально вверх с первой космической скоростью и возвращается на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находилась в полете? Радиус Земли $R$=6400 км.
Примечание. Площадь эллипса с полуосями $a$ и $b$ равна $S = \pi ab$.
Решение:
Траектория ракеты представляет собой часть очень вытянутого эллипса, в одном из фокусов которого находится центр Земли (см. рисунок). Скорость ракеты в верхней точке $D$ траектории почти равна нулю.
Согласно закону сохранения энергии,
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} - G \frac{Mm}{R} \approx - G \frac{Mm}{2b}$. (1)
Здесь $M$ - масса Земли, $m$ - масса ракеты, $v_{0} = \sqrt{ \frac{GM}{R}}$ - начальная скорость ракеты (первая космическая скорость); $ - G \frac{Mm}{R}$ и $- G \frac{Mm}{2b}$ - потенциальная энергия ракеты у поверхности Земли (при запуске) и в верхней точке траектории. Из (1) найдем большую полуось эллипса: $b \approx R$.
Из третьего закона Кеплера (квадраты периодов обращения по эллиптическим траекториям относятся как кубы больших полуосей эллипсов) следует, что полное время $T_{э}$ движения ракеты по всему эллипсу было бы равно периоду $T_{0}$ обращения спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли, то есть
$T_{э} = T_{0} = \frac{2 \pi R}{ \sqrt{ \frac{GM}{R} }} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Из второго закона Кеплера (радиус-вектор, соединяющий тело, движущееся под действием силы тяготения по замкнутой орбите, с центром притяжения, за равные промежутки времени заметает равные площади) следует, что отношение времени заметает равные площади) следует, что отношение времени движения $T$ по половине эллипса (участок $BDC$) к полному периоду $T_{э}$ равно отношению площади заштрихованной на рисунке фигуры $OBDC$ к полной площади эллипса:
$\frac{T}{T_{э}} = \frac{ \frac{1}{2} \pi ab + ab}{ \pi ab}$.
Отсюда находим время полета $T$:
$T = T_{э} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \pi} \right ) = ( \pi + 2) \sqrt{ \frac{R}{g} } \approx 1 ч. 9 мин.$
