Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16425
2024-03-16 
На «полуцилиндре» с радиусом основания $R$ лежит гантелька длины $l$ (см. рисунок). Найти период малых колебаний гантельки.
Решение:
Пусть гантелька повернута на малый угол $\alpha$ относительно положения равновесия (рис.), точка $B$ - точка касания стержня с полуцилиндром; $\angle AOB = \alpha$ (поверхность полуцилиндра шероховатая, и гантелька не проскальзывает). Возникающие при этом моменты сил стремятся вернуть гантельку в положение равновесия. Поскольку угол $\alpha$ мал, можно считать, что шарики гантельки будут двигаться по дугам окружностей радиусов
$r_{1} \approx \frac{l}{2} - |AB| = \frac{l}{2} - R \alpha, r_{2} = \frac{l}{2} + R \alpha$.
Скорости шариков будут равны, соответственно
$v_{1} = x_{1}^{ \prime} = (r_{1} \alpha )^{ \prime} = \alpha^{ \prime} \left ( \frac{l}{2} - 2R \alpha \right )$,
$v_{2} = x_{1}^{ \prime} = (r_{2} \alpha )^{ \prime} = \alpha^{ \prime} \left ( \frac{l}{2} + 2R \alpha \right )$.
Полная энергия гантельки остается постоянной и равной её потенциальной энергии $\Pi_{0}$ в момент мак-равновесия. Когда гантелька отклонена на угол $\alpha$ от положения равновесия, её энергия равна
$\Pi_{1} + K = mg (R + x_{2}) + mg(R - x_{1}) + \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2} = m \frac{l^{2} ( \alpha^{ \prime} )^{2}}{4} + 2mgR \left ( 1 + \frac{ \alpha^{2}}{2} \right ) = \Pi_{0}$,
($m$ - масса каждого шарика; стержень считаем невесомым; вычисляя $v_{1}^{2}$ и $v_{2}^{2}$ мы пренебрегли членами порядка $\alpha^{2}( \alpha^{ \prime})^{2}$). Продифференцируем полученное равенство:
$\frac{ml^{2} \alpha^{ \prime} \alpha^{ \prime \prime}}{2} + 2mgR \alpha \alpha^{ \prime} = 0$,
откуда
$\alpha^{ \prime \prime} = - \frac{4gR}{l^{2}} \alpha$.
Полученное уравнение является уравнением гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{4gR}{l^{2}}}$. Следовательно, период малых колебаний гантельки
равен
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = nl \sqrt{ \frac{1}{gR} }$.
На «полуцилиндре» с радиусом основания $R$ лежит гантелька длины $l$ (см. рисунок). Найти период малых колебаний гантельки.
Решение:
Пусть гантелька повернута на малый угол $\alpha$ относительно положения равновесия (рис.), точка $B$ - точка касания стержня с полуцилиндром; $\angle AOB = \alpha$ (поверхность полуцилиндра шероховатая, и гантелька не проскальзывает). Возникающие при этом моменты сил стремятся вернуть гантельку в положение равновесия. Поскольку угол $\alpha$ мал, можно считать, что шарики гантельки будут двигаться по дугам окружностей радиусов
$r_{1} \approx \frac{l}{2} - |AB| = \frac{l}{2} - R \alpha, r_{2} = \frac{l}{2} + R \alpha$.
Скорости шариков будут равны, соответственно
$v_{1} = x_{1}^{ \prime} = (r_{1} \alpha )^{ \prime} = \alpha^{ \prime} \left ( \frac{l}{2} - 2R \alpha \right )$,
$v_{2} = x_{1}^{ \prime} = (r_{2} \alpha )^{ \prime} = \alpha^{ \prime} \left ( \frac{l}{2} + 2R \alpha \right )$.
Полная энергия гантельки остается постоянной и равной её потенциальной энергии $\Pi_{0}$ в момент мак-равновесия. Когда гантелька отклонена на угол $\alpha$ от положения равновесия, её энергия равна
$\Pi_{1} + K = mg (R + x_{2}) + mg(R - x_{1}) + \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2} = m \frac{l^{2} ( \alpha^{ \prime} )^{2}}{4} + 2mgR \left ( 1 + \frac{ \alpha^{2}}{2} \right ) = \Pi_{0}$,
($m$ - масса каждого шарика; стержень считаем невесомым; вычисляя $v_{1}^{2}$ и $v_{2}^{2}$ мы пренебрегли членами порядка $\alpha^{2}( \alpha^{ \prime})^{2}$). Продифференцируем полученное равенство:
$\frac{ml^{2} \alpha^{ \prime} \alpha^{ \prime \prime}}{2} + 2mgR \alpha \alpha^{ \prime} = 0$,
откуда
$\alpha^{ \prime \prime} = - \frac{4gR}{l^{2}} \alpha$.
Полученное уравнение является уравнением гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{4gR}{l^{2}}}$. Следовательно, период малых колебаний гантельки
равен
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = nl \sqrt{ \frac{1}{gR} }$.
