Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16423
2024-03-16 
С палубы яхты, бороздящей океан со скоростью 10 узлов (18 км/ч), принцесса роняет в воду жемчужину массой $m = 1 г$. Как далеко по горизонтали от места падения в воду может оказаться жемчужина на дне океана, если при ее движении в воде сила сопротивления $\vec{F} = \beta \vec{V}; \beta =10^{4} кг/с$?
Решение:
Скорость яхты будет начальной горизонтальной скоростью жемчужины $v_{x}$, упавшей в воду. Запишем второй закон Ньютона:
$m \frac{dv_{x}}{dt} = - \beta v_{x}$. (1)
Разделим переменные в уравнении (1) и проинтегрируем по времени:
$\frac{dv_{x}}{v_{x}} = - \frac{ \beta}{m} dt \Rightarrow \int_{v_{0}}^{v_{x}} \frac{dv_{x}}{v_{x}} = - \frac{ \beta}{m} \int_{0}^{t} dt \Rightarrow ln \frac{v_{x}}{v_{0}} = - \frac{ \beta }{m} t$.
Откуда
$v_{x} = v_{0} e^{ - \frac{ \beta}{m} t }$. (2)
По определению:
$v_{x} = \frac{dx}{dt}$,
тогда:
$x(t) = v_{0} \int_{0}^{t} e^{ - \frac{ \beta}{m} } dt = - v_{0} \frac{m}{ \beta} \left . e^{- \frac{ \beta }{m} t }\right |_{0}^{t} = \frac{mv_{0}}{ \beta } \left ( 1 - e^{- \frac{ \beta}{m} t } \right )$. (3)
Из формулы (3) видно, что максимальное расстояние по горизонтали от места падения в воду будет равно:
$x_{max} = \frac{mv_{0}}{ \beta} = 50м$.
С палубы яхты, бороздящей океан со скоростью 10 узлов (18 км/ч), принцесса роняет в воду жемчужину массой $m = 1 г$. Как далеко по горизонтали от места падения в воду может оказаться жемчужина на дне океана, если при ее движении в воде сила сопротивления $\vec{F} = \beta \vec{V}; \beta =10^{4} кг/с$?
Решение:
Скорость яхты будет начальной горизонтальной скоростью жемчужины $v_{x}$, упавшей в воду. Запишем второй закон Ньютона:
$m \frac{dv_{x}}{dt} = - \beta v_{x}$. (1)
Разделим переменные в уравнении (1) и проинтегрируем по времени:
$\frac{dv_{x}}{v_{x}} = - \frac{ \beta}{m} dt \Rightarrow \int_{v_{0}}^{v_{x}} \frac{dv_{x}}{v_{x}} = - \frac{ \beta}{m} \int_{0}^{t} dt \Rightarrow ln \frac{v_{x}}{v_{0}} = - \frac{ \beta }{m} t$.
Откуда
$v_{x} = v_{0} e^{ - \frac{ \beta}{m} t }$. (2)
По определению:
$v_{x} = \frac{dx}{dt}$,
тогда:
$x(t) = v_{0} \int_{0}^{t} e^{ - \frac{ \beta}{m} } dt = - v_{0} \frac{m}{ \beta} \left . e^{- \frac{ \beta }{m} t }\right |_{0}^{t} = \frac{mv_{0}}{ \beta } \left ( 1 - e^{- \frac{ \beta}{m} t } \right )$. (3)
Из формулы (3) видно, что максимальное расстояние по горизонтали от места падения в воду будет равно:
$x_{max} = \frac{mv_{0}}{ \beta} = 50м$.
