Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16416
2024-03-16 
Волейбольный мяч массой 200 г и объемом 8 л накачен до избыточного давления 0,2 атм. Мяч был подброшен на высоту 20 м и после падения на твердый грунт подскочил почти на ту же высоту. Оцените максимальную температуру воздуха в мяче в момент удара о грунт. Температура наружного воздуха $300 К$, теплоемкость воздуха при постоянном объеме $c_{V} = 0,16 кал/г \cdot град$.
Решение:
Так как мяч после удара о землю поднялся на ту же высоту, с которой он падал, потерями энергии при ударе можно пренебречь и считать, что сжатие воздуха в мяче во время удара происходит адиабатически.
Согласно закону сохранения энергии (первому закону термодинамики) изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ равно
$\Delta U = Q + A$, (1)
где $Q$ - количество тепла, сообщенного газу, и $A$ - работа, совершенная над газом при его сжатии. Так как в данном случае $Q = 0$, то
$\Delta U = A$. (2)
Как известно, изменение внутренней энергии газа не зависит от процесса и равно
$\Delta U = c_{V} m \Delta T = c_{V}m(T_{max} - T)$, (3)
где $T$ - начальная температура газа, $m$ - его масса.
Работа по сжатию воздуха совершается за счет механической энергии мяча. Если пренебречь потенциальной энергией деформации камеры и грунта в момент наибольшего сжатия (когда температура воздуха максимальна, а мяч покоится), то работа $A$ равна
$A = Mgh$, (4)
где $M$ - масса мяча, $h$ - высота, на которую он был подброшен.
Подставив выражение для $\Delta U$ и $A$ в формулу (2), получим
$c_{V}m(T_{max} - T) = Mgh$. (5)
Массу воздуха в мяче можно определить из уравнения газового состояния:
$pV = \frac{m}{ \mu}RT$,
где $p = p_{атм} + P_{и}$ ($p_{атм} = 1 атм$ - атмосферное давление, $p_{и}$ - избыточное давление), $V$ - объем мяча. Отсюда
$m = \frac{(p_{атм} + p_{и}) V \mu}{RT}$. (6)
Из (5) и (6) находим
$T_{max} = T \left [ 1 + \frac{MghR}{ \mu (p_{атм} + p_{и})Vc_{v}} \right ] \approx 1,02T = 306 К$.
Волейбольный мяч массой 200 г и объемом 8 л накачен до избыточного давления 0,2 атм. Мяч был подброшен на высоту 20 м и после падения на твердый грунт подскочил почти на ту же высоту. Оцените максимальную температуру воздуха в мяче в момент удара о грунт. Температура наружного воздуха $300 К$, теплоемкость воздуха при постоянном объеме $c_{V} = 0,16 кал/г \cdot град$.
Решение:
Так как мяч после удара о землю поднялся на ту же высоту, с которой он падал, потерями энергии при ударе можно пренебречь и считать, что сжатие воздуха в мяче во время удара происходит адиабатически.
Согласно закону сохранения энергии (первому закону термодинамики) изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ равно
$\Delta U = Q + A$, (1)
где $Q$ - количество тепла, сообщенного газу, и $A$ - работа, совершенная над газом при его сжатии. Так как в данном случае $Q = 0$, то
$\Delta U = A$. (2)
Как известно, изменение внутренней энергии газа не зависит от процесса и равно
$\Delta U = c_{V} m \Delta T = c_{V}m(T_{max} - T)$, (3)
где $T$ - начальная температура газа, $m$ - его масса.
Работа по сжатию воздуха совершается за счет механической энергии мяча. Если пренебречь потенциальной энергией деформации камеры и грунта в момент наибольшего сжатия (когда температура воздуха максимальна, а мяч покоится), то работа $A$ равна
$A = Mgh$, (4)
где $M$ - масса мяча, $h$ - высота, на которую он был подброшен.
Подставив выражение для $\Delta U$ и $A$ в формулу (2), получим
$c_{V}m(T_{max} - T) = Mgh$. (5)
Массу воздуха в мяче можно определить из уравнения газового состояния:
$pV = \frac{m}{ \mu}RT$,
где $p = p_{атм} + P_{и}$ ($p_{атм} = 1 атм$ - атмосферное давление, $p_{и}$ - избыточное давление), $V$ - объем мяча. Отсюда
$m = \frac{(p_{атм} + p_{и}) V \mu}{RT}$. (6)
Из (5) и (6) находим
$T_{max} = T \left [ 1 + \frac{MghR}{ \mu (p_{атм} + p_{и})Vc_{v}} \right ] \approx 1,02T = 306 К$.
