Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16414
2024-03-16 
Спутник движется вокруг Земли по почти круговой орбите со скоростью $v$. Изменение его орбиты связано с тем, что на спутник действует со стороны микрочастиц сила трения $F = a v^{ \alpha}$, где $a$ и $\alpha$ - константы. Найти $\alpha$, если известно, что радиус орбиты спутника меняется очень медленно.
Решение:
Сразу оговорим, что будем решать задачу для случая, когда радиус орбиты меняется с постоянной скоростью.
Работа против силы трения совершается за счет уменьшения механической энергии спутника.
Пусть спутник массы $m$ движется со скоростью $v$ по круговой орбите радиуса $R$. Его кинетическая энергия равна $W_{к} = \frac{mv^{2}}{2}$, а потенциальная $W_{п} = - \frac{ \gamma mM}{R}$, где $M$ - масса Земли, $\gamma$ - гравитационная постоянная.
Центростремительное ускорение спутнику сообщает сила тяготения. Поэтому по второму закону Ньютона
$\frac{mv^{2}}{R} = \gamma \frac{mM}{R^{2}}$,
откуда
$v = \sqrt{ \gamma \frac{M}{R} }$.
Теперь выражение для $W_{к}$ можно записать так:
$W_{к} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{1}{2} \gamma \frac{mM}{R}$.
Тогда полная механическая энергия спутника равна
$W = W_{к} + W_{п} = - \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R}$.
Если радиус орбиты за время $\Delta t$ уменьшится на малую величину $\Delta R$ ($\Delta R \ll R$), то изменение энергии спутника будет равно
$\Delta W = - \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R} - \left ( - \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R - \Delta R} \right ) = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R(R - \Delta R)} \Delta R \approx \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^{2}} \Delta R$.
Работу против силы трения за это время можно посчитать так:
$A = F_{тр.ср.}v_{ср.} \Delta t = a v_{ср}^{ \alpha + 1} \Delta t \approx a \left ( \gamma \frac{M}{R} \right )^{ \frac{ \alpha + 1}{2} } \Delta t$
($v_{ср} \Delta t$ - это расстояние, на которое спутник переместится за время $\Delta t$).
Приравняем полученные выражения для работы и изменения полной энергии спутника:
$a \left ( \gamma \frac{M}{R} \right )^{ \frac{ \alpha + 1}{2} } \Delta t = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^{2}} \Delta R$.
Разделив обе части равенства на $\Delta t$, получим
$a \left ( \gamma \frac{M}{R} \right )^{ \frac{ \alpha + 1}{2} } = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^{2}} \frac{ \Delta R}{ \Delta t}$,
где $\frac{ \Delta T}{ \Delta t}$ - скорость приближения спутника к Земле - величина постоянная. Проанализируем полученное равенство. Оно должно выполняться при любых значениях переменной $R$. Для этого необходимо, чтобы показатели степени при $R$ в обеих частях равенства были одинаковыми, то есть
$- \left ( \frac{ \alpha + 1}{2} \right ) = - 2$,
откуда $\alpha = 3$.
Спутник движется вокруг Земли по почти круговой орбите со скоростью $v$. Изменение его орбиты связано с тем, что на спутник действует со стороны микрочастиц сила трения $F = a v^{ \alpha}$, где $a$ и $\alpha$ - константы. Найти $\alpha$, если известно, что радиус орбиты спутника меняется очень медленно.
Решение:
Сразу оговорим, что будем решать задачу для случая, когда радиус орбиты меняется с постоянной скоростью.
Работа против силы трения совершается за счет уменьшения механической энергии спутника.
Пусть спутник массы $m$ движется со скоростью $v$ по круговой орбите радиуса $R$. Его кинетическая энергия равна $W_{к} = \frac{mv^{2}}{2}$, а потенциальная $W_{п} = - \frac{ \gamma mM}{R}$, где $M$ - масса Земли, $\gamma$ - гравитационная постоянная.
Центростремительное ускорение спутнику сообщает сила тяготения. Поэтому по второму закону Ньютона
$\frac{mv^{2}}{R} = \gamma \frac{mM}{R^{2}}$,
откуда
$v = \sqrt{ \gamma \frac{M}{R} }$.
Теперь выражение для $W_{к}$ можно записать так:
$W_{к} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{1}{2} \gamma \frac{mM}{R}$.
Тогда полная механическая энергия спутника равна
$W = W_{к} + W_{п} = - \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R}$.
Если радиус орбиты за время $\Delta t$ уменьшится на малую величину $\Delta R$ ($\Delta R \ll R$), то изменение энергии спутника будет равно
$\Delta W = - \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R} - \left ( - \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R - \Delta R} \right ) = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R(R - \Delta R)} \Delta R \approx \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^{2}} \Delta R$.
Работу против силы трения за это время можно посчитать так:
$A = F_{тр.ср.}v_{ср.} \Delta t = a v_{ср}^{ \alpha + 1} \Delta t \approx a \left ( \gamma \frac{M}{R} \right )^{ \frac{ \alpha + 1}{2} } \Delta t$
($v_{ср} \Delta t$ - это расстояние, на которое спутник переместится за время $\Delta t$).
Приравняем полученные выражения для работы и изменения полной энергии спутника:
$a \left ( \gamma \frac{M}{R} \right )^{ \frac{ \alpha + 1}{2} } \Delta t = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^{2}} \Delta R$.
Разделив обе части равенства на $\Delta t$, получим
$a \left ( \gamma \frac{M}{R} \right )^{ \frac{ \alpha + 1}{2} } = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^{2}} \frac{ \Delta R}{ \Delta t}$,
где $\frac{ \Delta T}{ \Delta t}$ - скорость приближения спутника к Земле - величина постоянная. Проанализируем полученное равенство. Оно должно выполняться при любых значениях переменной $R$. Для этого необходимо, чтобы показатели степени при $R$ в обеих частях равенства были одинаковыми, то есть
$- \left ( \frac{ \alpha + 1}{2} \right ) = - 2$,
откуда $\alpha = 3$.
