ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса $R$, зависит от пройденного пути $s$ по закону $T = \alpha s$, где $\alpha$ - постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от $s$.


Решение:


Из выражения кинетической энергии $T = \frac{mv^{2}}{2}$ с учетом данных задачи имеем

$\frac{mv^{2}}{2} = \alpha s$ или $\frac{m}{2} \left ( \frac{ds}{dt} \right )^{2} = \alpha s$.

Разделяя переменные, получим следующее соотношение

$\frac{ds}{ \sqrt{s}} = \sqrt{ \frac{2 \alpha}{m}} dt$,

после интегрирования которого найдем $s$ в зависимости от времени:

$s = \left ( \frac{ \alpha}{2m} \right ) t^{2}$.

Тогда касательная компонента силы

$F_{1} = ma = m \ddot{s} = m \left ( \frac{ \alpha}{2m} \right ) 2 = \alpha$.

Нормальная или центростремительная компонента силы

$F_{2} = m \frac{v^{2}}{R} = m \frac{ \dot{s}^{2}}{R} = \frac{2 \alpha s}{R}$.

Окончательно, модуль силы, действующей на частицу, будет

$F = \sqrt{ F_{1}^{2} + F_{2}^{2}} = \alpha \sqrt{1 + \left ( \frac{2s}{R} \right )^{2}}$.