Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16412
2024-03-16 
На горизонтальной поверхности лежит деревянный шар массой $M$. Дробинка массой $m$ летит в горизонтальном направлении, попадает в шар и застревает в его центре. Через некоторое время шар начинает катиться без проскальзывания со скоростью $V$. Определить начальную скорость $v_{0}$ дробинки. Размеры дробинки ничтожно малы по сравнению с радиусом шара.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Когда дробинка, летящая со скоростью $v_{0}$, ударяет в центр шара, она передает ему момент импульса $mv_{0}R$. После удара, когда установится некоторая скорость шара, он будет двигаться без скольжения. Тогда момент импульса системы относительно мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения шара и плоскости, будет равен $(I_{ш} + I_{д}) \omega$. Момент инерции дробинки, очевидно, $I_{д} = mR^{2}$, а шара найдем по теореме Гюйгенса-Штейнера $I_{ш} = I_{C} + MR^{2}$, где $I_{C} = \frac{2MR^{2}}{5}$ - момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс. Таким образом, получим $I_{ш} = \frac{7MR^{2}}{5}$. Тогда, используя закон сохранения момента импульса, будем иметь
$mv_{0}R = mR^{2} \omega + \frac{7}{5} MR^{2} \omega$.
Учитывая связь $V = \omega R$, получим ответ:
$v_{0} = \left ( 1 + \frac{7M}{5m} \right ) V$.
На горизонтальной поверхности лежит деревянный шар массой $M$. Дробинка массой $m$ летит в горизонтальном направлении, попадает в шар и застревает в его центре. Через некоторое время шар начинает катиться без проскальзывания со скоростью $V$. Определить начальную скорость $v_{0}$ дробинки. Размеры дробинки ничтожно малы по сравнению с радиусом шара.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Когда дробинка, летящая со скоростью $v_{0}$, ударяет в центр шара, она передает ему момент импульса $mv_{0}R$. После удара, когда установится некоторая скорость шара, он будет двигаться без скольжения. Тогда момент импульса системы относительно мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения шара и плоскости, будет равен $(I_{ш} + I_{д}) \omega$. Момент инерции дробинки, очевидно, $I_{д} = mR^{2}$, а шара найдем по теореме Гюйгенса-Штейнера $I_{ш} = I_{C} + MR^{2}$, где $I_{C} = \frac{2MR^{2}}{5}$ - момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс. Таким образом, получим $I_{ш} = \frac{7MR^{2}}{5}$. Тогда, используя закон сохранения момента импульса, будем иметь
$mv_{0}R = mR^{2} \omega + \frac{7}{5} MR^{2} \omega$.
Учитывая связь $V = \omega R$, получим ответ:
$v_{0} = \left ( 1 + \frac{7M}{5m} \right ) V$.
