Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16411
2024-03-16 
Между двумя кубиками массы $m_{1}$ и $m_{2}$ находится сжатая пружина жесткости $k$. Кубики связаны ниткой, расстояние между ними $l$ (см. рис.). На какую высоту поднимется центр масс системы, если нить пережечь? Пружину считать невесомой. Ее длина в нормальном состоянии равна $l_{0}$.
Решение:
Рассмотрим, что будет происходить в системе после пережигания нити. Под действием силы упругости пружины верхний конец будет подниматься; пружина, пройдя положение равновесия, будет растягиваться, и в некоторый момент она сумеет поднять нижний кубик. Пусть к этому времени центр масс системы поднялся на высоту $h_{1}$ и имеет скорость $v$. Начиная с этого момента на систему будет действовать только одна сила - сила тяжести. Поэтому центр масс системы будет двигаться так, как движется тело, брошенное вертикально вверх со скоростью $v$. Максимальная высота, на которую поднимется центр масс системы, начиная с этого момента, равна $h_{2} = \frac{v^{2}}{2g}$.
Тогда полная высота поднятия центра масс после пережигания нити будет равна
$h = h_{1} + h_{2}$.
Высоту можно связать с величиной деформации пружины $l_{1} - l$, где $l_{1}$ - длина пружины в момент отрыва нижнего кубика. Действительно, координата центра масс выражается через координату верхнего кубика так:
$x_{цм} = \frac{x_{1}m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Изменение координаты верхнего кубика равно $l_{1} - l$, а изменение координаты центра масс равно $h_{1}$. Поэтому
$h_{1} = \frac{(l_{1} - l)m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
В момент отрыва $F_{упр} = m_{2}g$, то есть
$k(l_{1} - l_{0}) = m_{2}g$,
откуда
$l_{1} = \frac{m_{2}g}{k} + l_{0}$
и
$h_{1} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \left ( \frac{m_{2}g}{k} + l_{0} - l \right )$.
Теперь найдем $h_{2}$.
Скорость центра масс $v$ связана со скоростью верхнего кубика $v_{1}$ так:
$v = \frac{v_{1}m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Скорость $v_{1}$ можно найти из закона сохранения энергии:
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + m_{2}g(l_{1} - l) + \frac{k(l_{1} - l_{0})^{2}}{2} = \frac{k(l_{0} - l)^{2}}{2}$.
Тогда
$h_{2} = \frac{v^{2}}{2g} = \left [ \frac{k(l_{0} - l)^{2}}{m_{1}} - \frac{m_{2}^{2}g^{2}}{km_{1}} - 2g \left ( \frac{m_{2}g}{k} + l_{0} - l \right ) \right ] \frac{m_{1}^{2}}{2g(m_{1} + m_{2})^{2}}$.
Суммарная высота подъема
$h = h_{1}+h_{2}$.
Так будет происходить тогда, когда начальный запас потенциальной энергии пружины будет больше, чем потенциальная энергия пружины и увеличение потенциальной энергии тяготения верхнего кубика в тот момент, когда сила упругости растянутой пружины станет равной весу нижнего кубика.
А может случиться так, что верхний кубик остановится в тот момент, когда сила упругости пружины меньше веса нижнего кубика. Тогда нижний кубик останется на месте, и достаточно будет рассмотреть движение только одного верхнего кубика.
Запишем закон сохранения энергии для этого случая:
$\frac{k(l_{0} - l)^{2}}{2} = \frac{k(l_{1} - l_{0})^{2}}{2} + m_{1}g(l_{1} - l)$,
где $l_{1}$ - максимальная длина растянутой пружины.
Отсюда
$l_{1} = l_{0} - \frac{m_{1}g}{k} + \sqrt{ \left ( l_{0} - \frac{m_{1}g}{k} \right )^{2} + l \left ( l - 2l_{0} + \frac{2m_{1}g}{k} \right ) }$.
Высота поднятия верхнего кубика равна
$\Delta l = l_{1} - l$,
а центр масс системы -
$\Delta x_{цм} = \frac{ \Delta l m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Между двумя кубиками массы $m_{1}$ и $m_{2}$ находится сжатая пружина жесткости $k$. Кубики связаны ниткой, расстояние между ними $l$ (см. рис.). На какую высоту поднимется центр масс системы, если нить пережечь? Пружину считать невесомой. Ее длина в нормальном состоянии равна $l_{0}$.
Решение:
Рассмотрим, что будет происходить в системе после пережигания нити. Под действием силы упругости пружины верхний конец будет подниматься; пружина, пройдя положение равновесия, будет растягиваться, и в некоторый момент она сумеет поднять нижний кубик. Пусть к этому времени центр масс системы поднялся на высоту $h_{1}$ и имеет скорость $v$. Начиная с этого момента на систему будет действовать только одна сила - сила тяжести. Поэтому центр масс системы будет двигаться так, как движется тело, брошенное вертикально вверх со скоростью $v$. Максимальная высота, на которую поднимется центр масс системы, начиная с этого момента, равна $h_{2} = \frac{v^{2}}{2g}$.
Тогда полная высота поднятия центра масс после пережигания нити будет равна
$h = h_{1} + h_{2}$.
Высоту можно связать с величиной деформации пружины $l_{1} - l$, где $l_{1}$ - длина пружины в момент отрыва нижнего кубика. Действительно, координата центра масс выражается через координату верхнего кубика так:
$x_{цм} = \frac{x_{1}m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Изменение координаты верхнего кубика равно $l_{1} - l$, а изменение координаты центра масс равно $h_{1}$. Поэтому
$h_{1} = \frac{(l_{1} - l)m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
В момент отрыва $F_{упр} = m_{2}g$, то есть
$k(l_{1} - l_{0}) = m_{2}g$,
откуда
$l_{1} = \frac{m_{2}g}{k} + l_{0}$
и
$h_{1} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \left ( \frac{m_{2}g}{k} + l_{0} - l \right )$.
Теперь найдем $h_{2}$.
Скорость центра масс $v$ связана со скоростью верхнего кубика $v_{1}$ так:
$v = \frac{v_{1}m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Скорость $v_{1}$ можно найти из закона сохранения энергии:
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + m_{2}g(l_{1} - l) + \frac{k(l_{1} - l_{0})^{2}}{2} = \frac{k(l_{0} - l)^{2}}{2}$.
Тогда
$h_{2} = \frac{v^{2}}{2g} = \left [ \frac{k(l_{0} - l)^{2}}{m_{1}} - \frac{m_{2}^{2}g^{2}}{km_{1}} - 2g \left ( \frac{m_{2}g}{k} + l_{0} - l \right ) \right ] \frac{m_{1}^{2}}{2g(m_{1} + m_{2})^{2}}$.
Суммарная высота подъема
$h = h_{1}+h_{2}$.
Так будет происходить тогда, когда начальный запас потенциальной энергии пружины будет больше, чем потенциальная энергия пружины и увеличение потенциальной энергии тяготения верхнего кубика в тот момент, когда сила упругости растянутой пружины станет равной весу нижнего кубика.
А может случиться так, что верхний кубик остановится в тот момент, когда сила упругости пружины меньше веса нижнего кубика. Тогда нижний кубик останется на месте, и достаточно будет рассмотреть движение только одного верхнего кубика.
Запишем закон сохранения энергии для этого случая:
$\frac{k(l_{0} - l)^{2}}{2} = \frac{k(l_{1} - l_{0})^{2}}{2} + m_{1}g(l_{1} - l)$,
где $l_{1}$ - максимальная длина растянутой пружины.
Отсюда
$l_{1} = l_{0} - \frac{m_{1}g}{k} + \sqrt{ \left ( l_{0} - \frac{m_{1}g}{k} \right )^{2} + l \left ( l - 2l_{0} + \frac{2m_{1}g}{k} \right ) }$.
Высота поднятия верхнего кубика равна
$\Delta l = l_{1} - l$,
а центр масс системы -
$\Delta x_{цм} = \frac{ \Delta l m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
