Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16410
2024-03-16 
Однородный резиновый шнур длиной $L$ прикреплен одним концом к стене. Другой его конец в некоторый момент времени начинают двигать вдоль шнура со скоростью $v$, равномерно растягивая его при этом. В тот же момент от закрепленного конца вдоль шнура начинает двигаться жук, скорость которого относительно опоры (шнура) постоянная и равна $u$. При каких условиях жук сможет добраться до конца шнура? За какое время он это сделает? На каком максимальном расстоянии от подвижного конца шнура он окажется во время движения? Считайте, что шнур деформируется без разрыва.
Решение:
Длина шнура увеличивается со временем по закону $l = L + vt$. Это значит, что все отрезки со временем удлиняются таким же образом. Будем считать, что длина шнура остается равной $L$, а ноги жука укорачиваются так, что его скорость равна $u^{*} = \frac{uL}{L + vt}$ . Теперь запишем очевидное равенство
$\int_{0}^{T} u^{*}dt = L$,
откуда для времени $T$ получим
$T = \frac{L}{v} \left ( e^{ \frac{v}{u} } - 1 \right )$.
Для того чтобы найти максимальное расстояние, которое отделяет жука от подвижного конца шнура, нужно заняться арифметикой. Через время $t$ на «сжатом» шнуре жуку остается пробежать
$x^{*}(t) = L - L \frac{u}{v} ln \left (1 + \frac{vt}{L} \right )$.
На растянутом шнуре это расстояние превращается в
$x(t) = (L + vt) \frac{x^{*}(t)}{L} = L \left (1 + \frac{vt}{L} \right ) \left ( 1 - \frac{u}{v} ln \left ( 1 + \frac{vt}{L} \right ) \right )$.
Приравняем производную по времени нулю и найдем момент $t_{1}$, в который расстояние $x(t_{1})$ максимально:
$ln \left ( 1 + \frac{vt_{1}}{L} \right ) = \frac{v}{u} - 1, t_{1} = \frac{L}{v} \left ( e^{ \frac{v}{u} - 1 } - 1 \right )$,
т.е. при $v \gg u$ и время $t_{1}$ примерно в $e$ раз меньше всего времени путешествия. Окончательно
$x_{max} = L \frac{v}{u} e^{ \frac{v}{u} - 1 }$.
Это расстояние может оказаться в невообразимое число раз больше, чем $L$ (в наиболее интересном случае - когда $v \gg u$).
Однородный резиновый шнур длиной $L$ прикреплен одним концом к стене. Другой его конец в некоторый момент времени начинают двигать вдоль шнура со скоростью $v$, равномерно растягивая его при этом. В тот же момент от закрепленного конца вдоль шнура начинает двигаться жук, скорость которого относительно опоры (шнура) постоянная и равна $u$. При каких условиях жук сможет добраться до конца шнура? За какое время он это сделает? На каком максимальном расстоянии от подвижного конца шнура он окажется во время движения? Считайте, что шнур деформируется без разрыва.
Решение:
Длина шнура увеличивается со временем по закону $l = L + vt$. Это значит, что все отрезки со временем удлиняются таким же образом. Будем считать, что длина шнура остается равной $L$, а ноги жука укорачиваются так, что его скорость равна $u^{*} = \frac{uL}{L + vt}$ . Теперь запишем очевидное равенство
$\int_{0}^{T} u^{*}dt = L$,
откуда для времени $T$ получим
$T = \frac{L}{v} \left ( e^{ \frac{v}{u} } - 1 \right )$.
Для того чтобы найти максимальное расстояние, которое отделяет жука от подвижного конца шнура, нужно заняться арифметикой. Через время $t$ на «сжатом» шнуре жуку остается пробежать
$x^{*}(t) = L - L \frac{u}{v} ln \left (1 + \frac{vt}{L} \right )$.
На растянутом шнуре это расстояние превращается в
$x(t) = (L + vt) \frac{x^{*}(t)}{L} = L \left (1 + \frac{vt}{L} \right ) \left ( 1 - \frac{u}{v} ln \left ( 1 + \frac{vt}{L} \right ) \right )$.
Приравняем производную по времени нулю и найдем момент $t_{1}$, в который расстояние $x(t_{1})$ максимально:
$ln \left ( 1 + \frac{vt_{1}}{L} \right ) = \frac{v}{u} - 1, t_{1} = \frac{L}{v} \left ( e^{ \frac{v}{u} - 1 } - 1 \right )$,
т.е. при $v \gg u$ и время $t_{1}$ примерно в $e$ раз меньше всего времени путешествия. Окончательно
$x_{max} = L \frac{v}{u} e^{ \frac{v}{u} - 1 }$.
Это расстояние может оказаться в невообразимое число раз больше, чем $L$ (в наиболее интересном случае - когда $v \gg u$).
