Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16408
2024-03-16 
В воду с показателем преломления $n_{в}$ частично погружена тонкая стеклянная плосковыпуклая линза, причем ее плоская сторона горизонтальна и находится под водой, а толщина линзы $H$ (см. рис.). На эту систему вертикально падает параллельный пучок света. На глубинах $l$ и $L > l$ в воде возникают два одинаково ярких изображения. Каковы радиус $R$ выпуклой поверхности линзы, показатель преломления $n$ материала линзы и глубина $h$ ее погружения в воду? Отражением света от воды и от линзы, а также поглощением света пренебречь.
Решение:
Изображения формируются следующим образом. Часть светового пучка попадает на выпуклую поверхность линзы в воздухе, преломляется на ней, затем преломляется на плоской поверхности линзы в воде и образует одно изображение на глубине $l$. Другая часть пучка попадает на линзу в воде и образует после преломлений второе изображение на глубине $L > l$.
Выразим расстояния до изображений $l$ и $L$ через радиус $R$ выпуклой поверхности линзы и показатели преломления воды $n_{в}$ и материала линзы $n$. Для этого рассмотрим луч света, проходящий на расстоянии х$x \ll R$ от главной оптической оси линзы и попадающий на нее из воздуха (см. рис.). Он попадает на сферическую поверхность линзы под углом $\alpha = \frac{x}{R}$ и преломляется под углом $\beta = \frac{x}{Rn}$, поворачивая при этом на угол
$\gamma = \alpha - \beta = \frac{x}{R} \left (1 - \frac{1}{n} \right )$.
Под этим же углом он падает на плоскую поверхность линзы и преломляется под углом
$\delta = \gamma \frac{n}{n_{в}} = \frac{x}{R} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \frac{n}{n_{в}}$,
выходя в воду. Поскольку по условию линза тонкая, то $\delta = \frac{x}{l}$, и расстояние $l$ до изображения можно определить из соотношения
$\frac{x}{l} = \frac{x}{R} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \frac{n}{n_{в}}$,
откуда
$l = \frac{Rn_{в}}{n - 1}$.
Аналогичным образом, рассматривая часть пучка, падающую на линзу в воде, находим расстояние до второго изображения:
$L = \frac{R}{ \frac{n}{n_{в}} - 1} = \frac{Rn_{в}}{n - n_{в}}$
(это формула получается заменой в выражении для $l$ показателя преломления воздуха, равного 1, на показатель преломления воды $n_{в}$).
Из полученных соотношений находим
$R = \frac{lL(n_{в} -1)}{n_{в} (L-l)}$ и $n = \frac{n_{в}L - l}{L - l}$.
Осталось найти глубину $h$ погружения линзы в воду. Поскольку изображения оказываются одинаково яркими, то части пучка, падающие на линзу в воздухе и воде, переносят одинаковую энергию. Поэтому площади горизонтальных оснований частей линзы, покрытых и не покрытых водой, должны совпадать, то есть площадь основания выступающей из воды части линзы составляет $\frac{1}{2}$ от площади основания всей линзы. Найдем связь высоты $H - h$ выступающей из воды части линзы с радиусом $r$ ее основания (см. рис.). По теореме Пифагора, с учетом малости $H$ по сравнению с $R$, имеем
$r^{2} = R^{2} - (R - (H-h))^{2} = 2R(H - h)$,
откуда площадь основания выступающей из воды части линзы равна
$S_{1} = \pi r^{2} =2 \pi R(H-h)$.
Аналогично, площадь основания всей линзы составляет $S = \pi r_{1}^{2} = 2 \pi RH$.
Поскольку $S_{1} = \frac{S}{2}$, получаем
$h = \frac{H}{2}$.
В воду с показателем преломления $n_{в}$ частично погружена тонкая стеклянная плосковыпуклая линза, причем ее плоская сторона горизонтальна и находится под водой, а толщина линзы $H$ (см. рис.). На эту систему вертикально падает параллельный пучок света. На глубинах $l$ и $L > l$ в воде возникают два одинаково ярких изображения. Каковы радиус $R$ выпуклой поверхности линзы, показатель преломления $n$ материала линзы и глубина $h$ ее погружения в воду? Отражением света от воды и от линзы, а также поглощением света пренебречь.
Решение:
Изображения формируются следующим образом. Часть светового пучка попадает на выпуклую поверхность линзы в воздухе, преломляется на ней, затем преломляется на плоской поверхности линзы в воде и образует одно изображение на глубине $l$. Другая часть пучка попадает на линзу в воде и образует после преломлений второе изображение на глубине $L > l$.
Выразим расстояния до изображений $l$ и $L$ через радиус $R$ выпуклой поверхности линзы и показатели преломления воды $n_{в}$ и материала линзы $n$. Для этого рассмотрим луч света, проходящий на расстоянии х$x \ll R$ от главной оптической оси линзы и попадающий на нее из воздуха (см. рис.). Он попадает на сферическую поверхность линзы под углом $\alpha = \frac{x}{R}$ и преломляется под углом $\beta = \frac{x}{Rn}$, поворачивая при этом на угол
$\gamma = \alpha - \beta = \frac{x}{R} \left (1 - \frac{1}{n} \right )$.
Под этим же углом он падает на плоскую поверхность линзы и преломляется под углом
$\delta = \gamma \frac{n}{n_{в}} = \frac{x}{R} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \frac{n}{n_{в}}$,
выходя в воду. Поскольку по условию линза тонкая, то $\delta = \frac{x}{l}$, и расстояние $l$ до изображения можно определить из соотношения
$\frac{x}{l} = \frac{x}{R} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \frac{n}{n_{в}}$,
откуда
$l = \frac{Rn_{в}}{n - 1}$.
Аналогичным образом, рассматривая часть пучка, падающую на линзу в воде, находим расстояние до второго изображения:
$L = \frac{R}{ \frac{n}{n_{в}} - 1} = \frac{Rn_{в}}{n - n_{в}}$
(это формула получается заменой в выражении для $l$ показателя преломления воздуха, равного 1, на показатель преломления воды $n_{в}$).
Из полученных соотношений находим
$R = \frac{lL(n_{в} -1)}{n_{в} (L-l)}$ и $n = \frac{n_{в}L - l}{L - l}$.
Осталось найти глубину $h$ погружения линзы в воду. Поскольку изображения оказываются одинаково яркими, то части пучка, падающие на линзу в воздухе и воде, переносят одинаковую энергию. Поэтому площади горизонтальных оснований частей линзы, покрытых и не покрытых водой, должны совпадать, то есть площадь основания выступающей из воды части линзы составляет $\frac{1}{2}$ от площади основания всей линзы. Найдем связь высоты $H - h$ выступающей из воды части линзы с радиусом $r$ ее основания (см. рис.). По теореме Пифагора, с учетом малости $H$ по сравнению с $R$, имеем
$r^{2} = R^{2} - (R - (H-h))^{2} = 2R(H - h)$,
откуда площадь основания выступающей из воды части линзы равна
$S_{1} = \pi r^{2} =2 \pi R(H-h)$.
Аналогично, площадь основания всей линзы составляет $S = \pi r_{1}^{2} = 2 \pi RH$.
Поскольку $S_{1} = \frac{S}{2}$, получаем
$h = \frac{H}{2}$.
