Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16406
2024-03-16 
Какую максимальную разность потенциалов можно получить, имея в своем распоряжении источник с э.д.с. $\mathcal{E}$ и $n$ одинаковых конденсаторов с емкостью $C$ каждый?
Решение:
Разберем вначале более простой случай с $n = 2$.
Зарядив оба конденсатора от источника до разности потенциалов $E$ и соединив вместе последовательно источник и оба конденсатора, можно получить разность потенциалов $3E$. Однако это не максимально возможная разность потенциалов. Докажем, что, имея два конденсатора и источник, можно получить разность потенциалов, сколько угодно близкую к $4E$.
Соединим последовательно источник с одним из конденсаторов, а второй конденсатор замкнем на эту пару: «-» конденсатора соединим с «-» источника, а «+» конденсатора с «+» второго конденсатора (см. рис.). При этом заряды на конденсаторах перераспределятся. Обозначая заряды на конденсаторах после перераспределения через $q_{1}$ и $q_{2}$, а падение напряжения на конденсаторах через $u_{1}$ и $u_{2}$, мы можем записать
$E + u_{1} = u_{2}$. (1)
Суммарный заряд правых пластин конденсатора равен $2CE$. Этот заряд перераспределяется между пластинами, но измениться не может. Поэтому
$q_{1} +q_{2} = 2CE$. (2)
Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем
$u_{2} = \frac{3}{2} E$.
Снова зарядим конденсатор 1 до разности потенциалов $E$, соберем ту же схему. Теперь $u_{2}$ станет равным $\frac{4E}{7}$.
Повторяя эту операцию много раз, можно зарядить конденсатор 2 до разности потенциалов, сколь угодно близкой к $2E$. Соединяя теперь источник и оба конденсатора последовательно, мы и получим разность потенциалов, сколь угодно близкую к $4E$.
Таким образом, ясно, что имея возможность с помощью двух конденсаторов получить батарею с э.д.с. $4E$, третий конденсатор можно зарядить уже до разности потенциалов $4E$, а затем, соединив последовательно конденсаторы и источник, получить разность потенциалов 8E. До этой разности потенциалов можно зарядить четвертый конденсатор и т.д. Значит, имея п конденсаторов, один из них можно зарядить до разности потенциалов $E$, второй до разности потенциалов $2E$, третий до разности потенциалов $4E$ и так далее, $n$-ый конденсатор можно зарядить до разности потенциалов $2^{n-1}E$. Соединив затем все конденсаторы и источник последовательно, можно получить разность потенциалов
$E+ (E + 2E + 4E + \cdots + 2^{n-1}E) = 2^{n}E$.
Какую максимальную разность потенциалов можно получить, имея в своем распоряжении источник с э.д.с. $\mathcal{E}$ и $n$ одинаковых конденсаторов с емкостью $C$ каждый?
Решение:
Разберем вначале более простой случай с $n = 2$.
Зарядив оба конденсатора от источника до разности потенциалов $E$ и соединив вместе последовательно источник и оба конденсатора, можно получить разность потенциалов $3E$. Однако это не максимально возможная разность потенциалов. Докажем, что, имея два конденсатора и источник, можно получить разность потенциалов, сколько угодно близкую к $4E$.
Соединим последовательно источник с одним из конденсаторов, а второй конденсатор замкнем на эту пару: «-» конденсатора соединим с «-» источника, а «+» конденсатора с «+» второго конденсатора (см. рис.). При этом заряды на конденсаторах перераспределятся. Обозначая заряды на конденсаторах после перераспределения через $q_{1}$ и $q_{2}$, а падение напряжения на конденсаторах через $u_{1}$ и $u_{2}$, мы можем записать
$E + u_{1} = u_{2}$. (1)
Суммарный заряд правых пластин конденсатора равен $2CE$. Этот заряд перераспределяется между пластинами, но измениться не может. Поэтому
$q_{1} +q_{2} = 2CE$. (2)
Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем
$u_{2} = \frac{3}{2} E$.
Снова зарядим конденсатор 1 до разности потенциалов $E$, соберем ту же схему. Теперь $u_{2}$ станет равным $\frac{4E}{7}$.
Повторяя эту операцию много раз, можно зарядить конденсатор 2 до разности потенциалов, сколь угодно близкой к $2E$. Соединяя теперь источник и оба конденсатора последовательно, мы и получим разность потенциалов, сколь угодно близкую к $4E$.
Таким образом, ясно, что имея возможность с помощью двух конденсаторов получить батарею с э.д.с. $4E$, третий конденсатор можно зарядить уже до разности потенциалов $4E$, а затем, соединив последовательно конденсаторы и источник, получить разность потенциалов 8E. До этой разности потенциалов можно зарядить четвертый конденсатор и т.д. Значит, имея п конденсаторов, один из них можно зарядить до разности потенциалов $E$, второй до разности потенциалов $2E$, третий до разности потенциалов $4E$ и так далее, $n$-ый конденсатор можно зарядить до разности потенциалов $2^{n-1}E$. Соединив затем все конденсаторы и источник последовательно, можно получить разность потенциалов
$E+ (E + 2E + 4E + \cdots + 2^{n-1}E) = 2^{n}E$.
