Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16402
2024-03-16 
На высоте $h=200км$ плотность атмосферы равна $\rho = 1,6 \cdot 10^{-10} кг/м^{3}$. Оцените силу сопротивления, испытываемую спутником с поперечным сечением $S=0,5 м^{2}$ и массой $m=10 кг$, летящим на этой высоте.
Решение:
За время $\Delta t$ спутник сталкивается с частицами воздуха, находящимися в объеме $Sv \Delta t$ ($v$ - скорость спутника). Масса этих частиц равна $\rho Sv \Delta t$, а импульс, приобретаемый ими при столкновении со спутником, равен $\rho Sv \Delta t = \rho Sv^{2} \Delta t$. Согласно второму закону Ньютона на частицы воздуха действует со стороны спутника сила $F = \frac{ \rho Sv^{2} \Delta t}{ \Delta t} = \rho Sv^{2}$. По третьему закону Ньютона точно такой же величины сила, только направленная в противоположную сторону, действует на спутник.
Чтобы найти величину силы сопротивления, действующей на спутник, нужно знать скорость спутника.
Будем считать, что спутник движется по круговой орбите радиуса $R = R_{з} + h$ ($R_{з}$ - радиус Земли). Так как центростремительное ускорение $\frac{v^{2}}{R}$ спутнику сообщает сила тяготения $F_{т} = \gamma \frac{mM_{з}}{R^{2}}$ ($M_{з}$ - масса Земли), то согласно второму закону Ньютона
$\gamma \frac{mM_{з}}{R^{2}} = \frac{mv^{2}}{R}$.
Отсюда
$v^{2} = \gamma \frac{M_{з}}{R}$.
Поэтому сила сопротивления
$F = \rho \frac{S \gamma M_{з}}{R} = \frac{ \rho S \gamma M_{з}}{R_{з} + h}$.
Подставляя сюда численные значения всех величин ($\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{м^{3}}{кг \cdot с^{2}}, M_{з} \approx 6 \cdot 10^{24} кг, R_{з} = 6,4 \cdot 10^{6} м$), найдем
$F \approx 4,8 \cdot 10^{-3} Н$.
Найдем теперь, как сопротивление атмосферы влияет на движение спутника. Предположим, что изменение орбиты спутника за один оборот невелико. Тогда, сделав один полный оборот, спутник будет двигаться тоже по круговой орбите. Радиус этой орбиты обозначим $R_{1}$. Будем считать, что потенциальная энергия спутника равна нулю бесконечно далеко от Земли. Тогда по аналогии гравитационного поля с электрическим можно заключить, что на расстоянии $R$ от центра Земли потенциальная энергия спутника отрицательна и равна $- \frac{ \gamma M_{з}m}{R}$. Полная энергия спутника равна сумме потенциальной и кинетической энергий:
$E = - \gamma \frac{M_{з}m}{R} + \frac{mv^{2}}{2}$.
Но $v^{2} = \frac{ \gamma M_{з}}{R}$. Это означает, что кинетическая энергия спутника равна $\frac{ \gamma M_{з}m}{2R}$, то есть составляет по абсолютной величине половину потенциальной энергии спутника. Полная энергия спутника равна
$E = - \gamma \frac{M_{з}m}{R} + \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R} = - \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R}$.
После того как спутник сделает один полный оборот, его энергия станет равной
$E_{1} = - \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R_{1}}$.
Изменение энергии спутника равно работе силы сопротивления $F$ на пути $2 \pi R$:
$E -E_{1} = 2 \pi R \cdot F$, или
$- \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R} + \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R} = 2 \pi R \cdot \rho \frac{S \gamma M_{з}}{R}$.
Отсюда
$\Delta h = R - R_{1} =4 \pi \frac{ \rho S}{m} R \cdot R_{1}$.
Так как $R \approx R_{1}$, то можно считать $RR_{1} \approx R^{2}$ и
$\Delta h \approx \frac{4 \pi \rho SR^{2}}{m} \approx 3,5 км$.
Как видно, предположение о том, что изменение радиуса орбиты спутника за один виток невелико, было правильным. Спутник будет двигаться по спирали, каждый из витков которой мало отличается от окружности. Если бы плотность атмосферы не зависела от высоты, то такой спутник упал бы на Землю, сделав $n = \frac{200 км}{3,5 км} \approx 57$ витков вокруг Земли. Но плотность атмосферы увеличивается с уменьшением высоты. Поэтому на высоте 120-110 км сопротивление так велико, что спутник уже не может закончить виток и падает вниз, сгорая в плотных слоях атмосферы.
На высоте $h=200км$ плотность атмосферы равна $\rho = 1,6 \cdot 10^{-10} кг/м^{3}$. Оцените силу сопротивления, испытываемую спутником с поперечным сечением $S=0,5 м^{2}$ и массой $m=10 кг$, летящим на этой высоте.
Решение:
За время $\Delta t$ спутник сталкивается с частицами воздуха, находящимися в объеме $Sv \Delta t$ ($v$ - скорость спутника). Масса этих частиц равна $\rho Sv \Delta t$, а импульс, приобретаемый ими при столкновении со спутником, равен $\rho Sv \Delta t = \rho Sv^{2} \Delta t$. Согласно второму закону Ньютона на частицы воздуха действует со стороны спутника сила $F = \frac{ \rho Sv^{2} \Delta t}{ \Delta t} = \rho Sv^{2}$. По третьему закону Ньютона точно такой же величины сила, только направленная в противоположную сторону, действует на спутник.
Чтобы найти величину силы сопротивления, действующей на спутник, нужно знать скорость спутника.
Будем считать, что спутник движется по круговой орбите радиуса $R = R_{з} + h$ ($R_{з}$ - радиус Земли). Так как центростремительное ускорение $\frac{v^{2}}{R}$ спутнику сообщает сила тяготения $F_{т} = \gamma \frac{mM_{з}}{R^{2}}$ ($M_{з}$ - масса Земли), то согласно второму закону Ньютона
$\gamma \frac{mM_{з}}{R^{2}} = \frac{mv^{2}}{R}$.
Отсюда
$v^{2} = \gamma \frac{M_{з}}{R}$.
Поэтому сила сопротивления
$F = \rho \frac{S \gamma M_{з}}{R} = \frac{ \rho S \gamma M_{з}}{R_{з} + h}$.
Подставляя сюда численные значения всех величин ($\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{м^{3}}{кг \cdot с^{2}}, M_{з} \approx 6 \cdot 10^{24} кг, R_{з} = 6,4 \cdot 10^{6} м$), найдем
$F \approx 4,8 \cdot 10^{-3} Н$.
Найдем теперь, как сопротивление атмосферы влияет на движение спутника. Предположим, что изменение орбиты спутника за один оборот невелико. Тогда, сделав один полный оборот, спутник будет двигаться тоже по круговой орбите. Радиус этой орбиты обозначим $R_{1}$. Будем считать, что потенциальная энергия спутника равна нулю бесконечно далеко от Земли. Тогда по аналогии гравитационного поля с электрическим можно заключить, что на расстоянии $R$ от центра Земли потенциальная энергия спутника отрицательна и равна $- \frac{ \gamma M_{з}m}{R}$. Полная энергия спутника равна сумме потенциальной и кинетической энергий:
$E = - \gamma \frac{M_{з}m}{R} + \frac{mv^{2}}{2}$.
Но $v^{2} = \frac{ \gamma M_{з}}{R}$. Это означает, что кинетическая энергия спутника равна $\frac{ \gamma M_{з}m}{2R}$, то есть составляет по абсолютной величине половину потенциальной энергии спутника. Полная энергия спутника равна
$E = - \gamma \frac{M_{з}m}{R} + \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R} = - \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R}$.
После того как спутник сделает один полный оборот, его энергия станет равной
$E_{1} = - \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R_{1}}$.
Изменение энергии спутника равно работе силы сопротивления $F$ на пути $2 \pi R$:
$E -E_{1} = 2 \pi R \cdot F$, или
$- \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R} + \frac{1}{2} \gamma \frac{M_{з}m}{R} = 2 \pi R \cdot \rho \frac{S \gamma M_{з}}{R}$.
Отсюда
$\Delta h = R - R_{1} =4 \pi \frac{ \rho S}{m} R \cdot R_{1}$.
Так как $R \approx R_{1}$, то можно считать $RR_{1} \approx R^{2}$ и
$\Delta h \approx \frac{4 \pi \rho SR^{2}}{m} \approx 3,5 км$.
Как видно, предположение о том, что изменение радиуса орбиты спутника за один виток невелико, было правильным. Спутник будет двигаться по спирали, каждый из витков которой мало отличается от окружности. Если бы плотность атмосферы не зависела от высоты, то такой спутник упал бы на Землю, сделав $n = \frac{200 км}{3,5 км} \approx 57$ витков вокруг Земли. Но плотность атмосферы увеличивается с уменьшением высоты. Поэтому на высоте 120-110 км сопротивление так велико, что спутник уже не может закончить виток и падает вниз, сгорая в плотных слоях атмосферы.
