Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16401
2024-03-16 
На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый стержень длиной $l$ и массой $M$, в край которого ударяет твердый шарик массой $m$, движущийся со скоростью $v_{0}$, перпендикулярной к стержню. Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы трения между поверхностью стола и лежащими на них телами пренебрежимо малы, вычислить угловую скорость вращения стержня после удара.
Решение:
Если $F$ - сила, действующая на шарик во время удара, то уравнение движения шарика
$m \frac{dv}{dt} = - F$.
Уравнение движения центра масс стержня
$M \frac{dV}{dt} = F$.
Уравнение моментов для стержня относительно центра масс
$I \frac{d \omega}{dt} = \frac{Fl}{2}$.
Почленным делением исключаем $F$ и получаем
$\frac{m}{I} \frac{dv}{d \omega} = - \frac{2}{l}, \frac{M}{I} \frac{dV}{d \omega} = \frac{2}{l}$.
Интегрируя в пределах от начального значения угловой скорости $\omega = 0$ до конечного, найдем
$v - v_{0} = - \frac{2}{l} \frac{I}{m} \omega, V = \frac{2}{l} \frac{I}{M} \omega$,
причем в этих уравнениях $v, V$ и $\omega$ означают величины соответствующих скоростей после удара. Угловая скорость $\omega$ найдется из уравнения сохранения энергии. Если в него подставить значения $v$ и $V$, то для со получится квадратное уравнение
$\left [ 1 + \frac{4I}{l^{2}} \left ( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right ) \right ] \omega^{2} - 4 \frac{v_{0}}{l} \omega = 0$.
Один из корней этого уравнения ($\omega = 0$) дает угловую скорость стержня до удара, второй - после удара. По условию задачи надо взять второй корень. С учетом соотношения $I = \frac{Ml^{2}}{12}$ для него получаем
$\omega = \frac{12mv_{0}}{(4m + M)l}$.
На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый стержень длиной $l$ и массой $M$, в край которого ударяет твердый шарик массой $m$, движущийся со скоростью $v_{0}$, перпендикулярной к стержню. Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы трения между поверхностью стола и лежащими на них телами пренебрежимо малы, вычислить угловую скорость вращения стержня после удара.
Решение:
Если $F$ - сила, действующая на шарик во время удара, то уравнение движения шарика
$m \frac{dv}{dt} = - F$.
Уравнение движения центра масс стержня
$M \frac{dV}{dt} = F$.
Уравнение моментов для стержня относительно центра масс
$I \frac{d \omega}{dt} = \frac{Fl}{2}$.
Почленным делением исключаем $F$ и получаем
$\frac{m}{I} \frac{dv}{d \omega} = - \frac{2}{l}, \frac{M}{I} \frac{dV}{d \omega} = \frac{2}{l}$.
Интегрируя в пределах от начального значения угловой скорости $\omega = 0$ до конечного, найдем
$v - v_{0} = - \frac{2}{l} \frac{I}{m} \omega, V = \frac{2}{l} \frac{I}{M} \omega$,
причем в этих уравнениях $v, V$ и $\omega$ означают величины соответствующих скоростей после удара. Угловая скорость $\omega$ найдется из уравнения сохранения энергии. Если в него подставить значения $v$ и $V$, то для со получится квадратное уравнение
$\left [ 1 + \frac{4I}{l^{2}} \left ( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right ) \right ] \omega^{2} - 4 \frac{v_{0}}{l} \omega = 0$.
Один из корней этого уравнения ($\omega = 0$) дает угловую скорость стержня до удара, второй - после удара. По условию задачи надо взять второй корень. С учетом соотношения $I = \frac{Ml^{2}}{12}$ для него получаем
$\omega = \frac{12mv_{0}}{(4m + M)l}$.
